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数值分析思考题

数值分析重点考察内容第一章:基本概念第二章:Gauss消去法,Lu分解法第三章:题型:具体题+证明,误差分析三个主要迭代法,条件误差估计,范数的小证明第四章:掌握三种插值方法:拉格朗日,牛顿,厄尔米特,误差简单证明,构造复合函数第五章:最小二乘法计算第六章:梯形公式,辛普森(抛物线)公式,高斯公式三个重要公式,误差分析。

高斯求积公式的构造第七章:几种常用的迭代格式构造,收敛性证明。

第九章:基本概念(收敛阶,收敛条件,收敛区域等), 简单欧拉法。

第一章 误差1. 科学计算中的误差来源有4个,分别是________,________,________,________。

2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-,这里产生是什么误差?3. 0.7499作34的近似值,是______位有效数字,65.380是舍入得到的近似值,有____几位有效数字,相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值,有_______位有效数字.4. 改变下列表达式,使计算结果比较精确:(1)11,||1121x x x x --++ (2)||1x (3) 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ (4) sin sin ,αβαβ-≈5.采用下列各式计算61)时,哪个计算效果最好?并说明理由。

(1)(2)99-(3)6(3- (46. 已知近似数*x 有4位有效数字,求其相对误差限。

上机实验题:1、利用Taylor 展开公式计算 0!kx k x e k ∞==∑,编一段小程序,上机用单精度计算x e 的函数值. 分别取 x =1,5,10,20,-1,-5,-10,-15,-20,观察所得结果是否合理,如不合理请分析原因并给出解决方法.2、已知定积分10,0,1,2,,206n n x I dx n x ==+⎰,有如下的递推关系 1111100(6)61666n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-⎰⎰ 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -=-=取; (2) 12011),0.6n n I nI I n-=-=(取 来计算123419,,,,,I I I I I ,编程比较哪种计算的数值结果好,并给出理论分析。

第二章 插值法1. 已知(0)2,(1)1f f ==-,那么差商[1,0]f =_________.2. n 阶差商与导数的关系是01[,,,]n f x x x = __________________.3. 由导数和差商的关系知,[,]i i f x x =__________________。

4. 已知函数()f x 在3,1,4x =的值分别是4,6,9,试构造Lagrange 插值多项式。

5.取节点0120,1,2x x x ===, 对应的函数值和导数值分别为0()1,f x = 11()2,'()2f x f x ==,试建立不超过二次的插值多项式。

(如果将最后一个条件改为2'()2f x =,插值多项式如何计算?)6.已知(0)1,(1)2,'(1)3,(2)9f f f f ====,试建立不超过3次的插值多项式,并写出插值余项.7. 设4()[,]f x C a b ∈,求三次多项式3()p x ,使之满足插值条件11()(),0,1,2'()'()i i p x f x i p x f x ==⎧⎨=⎩8. 设1()P x 是过01,x x 的一次插值多项式,2()[,],f x C a b ∈其中[,]a b 是包含01,x x 的任一区间。

试证明:对任一给定的[,]x a b ∈,在(a,b )上总存在一点ξ,使得101()()()()()()2!f R x f x P x x x x x ξ''=-=--。

9.证明关于互异节点0{}n i i x =的Lagrange 插值基函数0{()}n i i l x =满足恒等式01()()()1n l x l x l x +++≡上机习题:1. 绘制4题的Lagrange 的插值函数的图像。

第三章 数据拟合1. 数据拟合与插值的区别是什么?2. 最小二乘原理是使偏差iδ的___________达到最小3. 求过点(2,3),(0,1),(3,5)的线性拟合函数。

4. 用最小二乘法求一形如2y a bx=+的多项式,使与下列数据相拟合第四章线性方程组的直接解法1. 线性方程组的解法大致可分为_____________,________________。

2. 平方根法和LDL T分解法要求系数矩阵A满足______________。

3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________,____________。

4. 严格对角占优矩阵的定义是什么?5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解(1)6234⎡⎤⎢⎥-⎣⎦。

(2)213 457 285⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

6. 用列主元高斯消去法求解方程组1231521 04313 2063xxx-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

7. 用LU分解法解方程组1232111 6161 10272xxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

上机实验题:1.编程实现列主元的高斯消去法2.编程实现LU分解法第五章线性方程组的迭代解法1. 向量(3,2,1,7)T x =-- ,计算1||||x ,2||||x ,||||x ∞.2. A=312010126-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,计算1||||A ,2||||A ,||||A ∞. 3. 2003A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 分别计算A 的谱半径()A ρ, 条件数cond ()A ∞,1||||A 4. 矩阵A 的范数与谱半径的关系为__________________________。

5. 求解AX =b 的迭代格式(1)()k k x Bx g +=+收敛的充分必要条件____________________。

6. SOR 迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。

7. 写出下面方程的Jacobi 迭代格式1231231231027102854x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩8. 给定下列方程组,判断对它们构造的Jacobi 迭代公式和Gauss-Seidel 迭代公式是否收敛(1) 131252728x x x x +=⎧⎨+=⎩ (2) 123121355251285x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩ 9. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式(提示:先调整方程组)123162132624114x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦10. 给定方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, (1)分别写出Jacobi 迭代公式和Gauss-Seidel 迭代公式。

(2)证明Jacobi 迭代法收敛,而Gauss-Seidel 迭代法发散。

上机实验题:1. 求解方程组:1231231231027102854x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩以(0)(1,1,1)T x =为初值,当(1)()4||||10k k x x +-∞-<时迭代终止。

(1) 编写Jacobi 迭代法程序(2) 编写Gauss-Seidel 迭代法程序第六章 数值积分与数值微分1.()ba f x dx ⎰的梯形求积公式是________,Simpson 公式是_______,其代数精度分别为_____,____。

2. n 点Gauss 求积公式的代数精度为___________.3. 确定下列求积公式中的待定系统,使得求积公式的代数精度尽量的高,并指明代数精度(1)101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h -≈-++⎰ (2) 11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰ (3) 10100()(0)(1)'(0)f x dx A f A f B f ≈++⎰ 4. 分别用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式、Gauss 求积公式计算积分11x e dx -⎰,并估计各种方法的误差。

5. 写出11()f x dx -⎰二点和三点的Gauss-Legendre 求积公式. 6. 分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算下列积分.10,(8)4x dx n x =+⎰ 7. 确定求积公式10101()()(1)2f x dx A f A f ≈+⎰的求积公式,并求其代数精度。

8. 构造如下形式的Gauss 求积公式:00110()()()x dx A f x A f x ≈+⎰. 9. 构造如下形式的Gauss 求积公式: 100111()()()f x dx A f x A f x -≈+⎰.上机实验题:1. 编程实现五点Gauss 积分算法。

第七章 非线性方程与非线性方程组的解法1. 求解非线性方程的根,牛顿法的收敛阶是________,割线法的收敛阶是____________.2. 确定下列方程的有根区间(1) 32720x x -+=(2) 20x e x -+-=3. 试用牛顿法和弦截法建立计算1,(0)c c≠的迭代格式。

4(0)a>的两种收敛的迭代格式。

5(0)a >4位有效数字。

(迭代求解3次即可)6. 的近似值.7. 设初值00x ≠, 计算1,(0)a a≠的迭代格式 1(2),0,1,2,k k k x x ax k +=-= 。

试证:(1)此迭代格式二阶收敛.(2)此迭代格式收敛的充分必要条件为0|1|1ax -<.上机实验题:1. 用割线法求方程32210200x x x ++-=的根,要求61||10k k x x -+-<第八章 常微分方程初值问题的数值解法1. 求解常微分方程'(0)1y x y y =+⎧⎨=⎩的Euler 公式为______________________, 其局部截断误差的阶数为_________,整体截断误差的阶数为__________.(设步长为h)2. 应用向前欧拉格式求解初值问题'1,01(0)1y x y x y =-+≤≤⎧⎨=⎩取步长h = 0.1,将计算结果与精确解x y x e -=+对照.。

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