流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的 运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中， 有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运 r 0 动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度 的流 r 0 动，无旋流动是指 的流动。
粘性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的 旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾 后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况 下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流 体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层 内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至 于工程中大量存在着的湍流运动，更是充满着尺度不同的大 小旋涡。
一、速度环量
速度环量Г：速度V沿封闭曲线L的 线积分。
L ds
α
V
Γ LV ds L V cos ds L (udx vdy wdz) L d
按照惯例，曲线积分的方向规定为逆时针方向为正， 顺时针方向为负。 例题6－2
二、漩涡（涡旋）强度
旋涡中某点涡量的大小是流体微团绕 该点旋转的平均角速度的2倍，方向 与微团的瞬时转动轴线重合。 漩涡强度就是面积A上涡量的通量， 简称为涡通量。
y

O
O

v xt x
u x t x
x
线变形速度：单位时间内某方向的微元长度在此方向的 相对变化量。

u x x t x u x x lim t , x 0 xt x
同理可得

y
v y
§6-1 流体微团运动分析
一.流体微团的旋转与变形
v yt y
u yt y
u A u, v A v u v u B u x, vB v x x x u v u D u y, vD v y y y u u uC u x y x y v v vC v x y x y
uB u
uC u
u dx x
vB v
vC v
v dx x
u u dx dy x y
v v dx dy x y
uD u
u dy y
vD v
v dy y
u u dx x v v dx x
u
u u dx dy x y v v v dx dy x y
A ωn ΔA
n
ω
I 2n A
I 2 n dA
A
三、斯托克斯定理
任意面积A上的漩涡强度I，等于该面积的边界L上的速度环 量Г，即：
u d x y dxdy 2 z dA dI
旋转角速度：流体微团单位时间内绕与平面垂直的轴所 转过的角度。

流体微团转过的角度为
90 45 2 2
z lim
1 1 v u ( ) t 0 2 t 2 x y
1 u w ) 2 z x
同理可得
x (
1 w v ) 2 y z
y (
旋转角速度大小
x 2 y 2 z 2
二.有旋流动与无旋流动
当流体微团具有绕自身轴作旋转运动时，则该点的运动 是有旋的，否则称无旋运动。无旋运动必定存在势函数， 故称势流。
无旋运动示意如下： 有旋运动示意如下：
斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理。它将涡 量的研究从面积分转变为线积分，使计算方便。 通常求 Г比求 I 要容易。

斯托克斯定律证明：
以平面流动为例来证明，如图6-2所示，在平面XOY上 取一微元矩形封闭曲线，其面积dA=dxdy，流体在A点 的速度分量为u和v，则B、C和D点的速度分量分别为：
z
w z
角变形速度：单位时间内在坐标平面内的两条微元边的 夹角的减小量的一半。
u yt u y t y y
v xt v x t x x
z lim t 0
同理可得
1 1 v u 2 t 2 x y 1 u w 1 w v y x 2 z x 2 y z
园盘绕流 尾流场中 的旋涡
机翼绕流（LES）
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有 旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流在理论研 究方面较成熟。 对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体运动 进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体 的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。因此，本章 先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势 流理论。
第六章 平面势流和漩涡运动
讨论理想不可压流体的二元运动： 平面势流和漩涡运动问题
意义：①研究理想流体二元运动规律；
②历史上发挥过重要作用，（如机翼绕流、升力 等问题）； ③基本解与运动叠加原理对研究粘性流体运动有 指导作用。
刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与 刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，任一 流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而 且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动 可以分解为移动、转动和变形运动三部分。
无旋流动的充要条件
x y z 0
或
r i r V x u v j y v
r 1 V 0 2 v k 0 （旋度=0） z w r
或
w v u w v u , , y z y x x y
§6-2
速度环量和漩涡强度