第六章 液体力学6-1 有一个长方体形的水库，长200 m ，宽150 m ，水深10 m ，求水对水库底面和侧面的压力。
解：水对水库底面的压力为：()()391 1.0109.810150200 2.910F ghS N ρ==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯侧面的压力应如下求得：在侧面上建立如图所示的坐标系，在y 处取侧面窄条dy ，此侧面窄条所受的压力为：dF glydy ρ=整个侧面所受的压力可以表示为：2012hF glydy glh ρρ==⎰对于10h m =、200l m =的侧面：()2721'9.8102F glh N ρ==⨯ 对于10h m =、150l m =的侧面：()2721''7.4102F glh N ρ==⨯侧面的总压力为：()82222'2'' 3.410F F F N =+=⨯6-2 有三个底面积相同但形状各异的容器，分别盛上高度相同的水，如题图所示，根据静止流体压强的概念，三个容器底面的压强是相同的，所以每个容器底面所受的水的压力也是相同的，水对底面压力是由水的重量引起的，但是三个容器中所盛的水的重量显然不等，请对这个似乎矛盾的结果作出解释。
答：三个容器底面的压强是相同的，但流体对容器内壁的压强并不是容器对其支撑面的压强，容器对其支撑面的压力等于水与容器本身重量之和。
因此，容器对其支撑面的压强是不同的。
如蓝球内壁的压强要比蓝球对支撑面的压强要大得多。
6-3 在35.010s ⨯的时间内通过管子截面的二氧化碳气体(看作为理想流体)的质量为0.51 kg 。
已知该气体的密度为37.5kg m -⋅ ，管子的直径为2.0 cm ，求二氧化碳气体在管子里的平均流速。
解： 单位时间内流过管子截面的二氧化碳气体的体积，即流量为：53130.511.36107.5 5.010V m Q m s t ρ--===⨯⋅⨯⨯平均流速为：()521221.3610 4.3103.14 1.010V Q v m s S ----⨯===⨯⋅⨯⨯ 6-4 当水从水笼头缓慢流出而自由下落时，水流随位置的下降而变细，何故？如果水笼头管口的内直径为d ，水流出的速率为0v ，求在水笼头出口以下h 处水流的直径。
解： 当水从水笼头缓慢流出时，可以认为是定常流动，遵从连续性方程，即流速与流管的截面积成反比，所以水流随位置的下降而变细，如图所示。
可以认为水从笼头流出后各处都是大气压，伯努利方程可以写为：2211221122v gh v gh ρρρρ+=+ 即：()()2221121v v g h h ρ-=-120h h -> 2221v v ∴> 这表示水流随位置的下降，流速逐渐增大。
整个水流可以认为是一个大流管，1h 处的流量应等于2h 处的流量，即：()11222S v S v = 由于：21v v >所以：12S S >，这表示水流随位置的下降而变细。
根据题意，12h h h -= ， 10v v = ，2h 处的流速为2v ，由（1）得：2220v v gh ρ-=即：()23v =将式(3)代入式(2)，得：2210221144d v d v ππ= 式中1d d =，2d 就是在水笼头出口以下h 处水流的直径。
上式可化为：202d v d = 于是：2d =6-5 试解释下面两种现象：（1）当两船并行前进时，好像有一种力量将两船吸引在一起，甚至发生碰撞，造成危险； （2）烟囱越高，拔火力量越大答：（1）由伯努利方程知，理想液体沿水平流管作定常流动时，管道截面积小的地方流速大，压强小，管道截面积大的地方流速小，因此两船并行时，两船之间的流体的流速会增大，压强变小，而两船另一侧的压强不变，所以，两船会相互吸引。
（2）空气受热膨胀向上升，由伯努利方程知，烟囱越高，则顶部的压强越小，形成低压真空虹吸现象，烟囱越高，形成的低压越强。
6-6 文丘里流量计是由一根粗细不均匀的管子做成的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如图所示。
在测量时，将它水平地接在管道上。
当管中有液体流动时，两竖直管中的液体会出现高度差h 。
如果粗部和细部的横截面积分别为SA 和SB ，试计算流量和粗、细两处的流速。
解 ：取沿管轴的水平流线AB(如图中虚线所示)，并且A 、B 两点分别对应两竖直管的水平位置，可以列出下面的伯努利方程：221122A A B BP v P v ρρ+=+ 改写为：()2212B A A B v v P P ρ-=- 即：()2221B A v v gh-=另有连续性方程：()2A A B B S v S v =以上两式联立，可解得：A v S =；B v S =流量为：V A A A Q S v S S ==6-7 利用压缩空气将水从一个密封容器内通过管子压出，如图所示。
如果管口高出容器内液面0.65 m ，并要求管口的流速为11.5m s -⋅ 。
求容器内空气的压强。
解：取如图示中虚线AB 所示的流线，并运用伯努利方程：221122A AB BP v P v ρρ+=+, 可以认为：0A v = 0B P P = 所以：()2235011013250.5 1.0 1.5 1.0109.80.65 1.09102A P P v gh Pa ρρ=++=+⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯ 6-8 在一个圆柱状容器的底部有一个圆孔，圆柱状容器和圆孔的直径分别为D 和d ，并且44D d >>，容器内液面高度h 随着水从圆孔流出而下降，试确定液面下降的速度v 与h 的函数关系。
解：设容器的截面积和液面下降的速度分别为1S 和v ，圆孔的截面积和该处的流速分别为2S 和2v ，此时就会面高度为h 。
通过液面中心画一条流线到底部的中心，对于一般竖直安放的圆柱状容器，这条流线必定是一条铅直线。
在这条流线的两端运用伯努利方程得：2212201122P v gh P v gh ρρρρ++=++以圆也处为水平高度的零点，即00h =，同时又有12P P =，于是上式可化为：()22221v v gh-=另有连续性方程： 122S v S v = 即：()1222S v v S =将（2）式代入（1）式，得：22122Sv v gh S ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得：12142114422424444142222211dgh dd D v gh ghgh d D d D S DS ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪===≈= ⎪ ⎪⎪⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-⎪- ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭6-9 用题图所示的虹吸管将容器中的水吸出，如果管内液体作定常流动，求： （1）虹吸管内液体的流速； （2）虹吸管最高点B 的压强； （3）B 点距离液面的最大高度。
解：把水看作理想流体，理想流体的特性之一是不可压缩性，根据不可压缩流体的连续性方程：Sv =恒量虹吸管各处横截面均匀，管内液体的流速应处处相等。
取过出水口C 点的水平面作为水平参考面，一切高度都由此面起算。
在容器内的水面上取一点D ，连接DA 的线作为一条流线，如图虚线所示。
流线DA 与虹吸管内的流线ABC ，形成一条完整的流线，并在这条流线上运用伯努得方程。
（1）对D 、C 两点运用伯努利方程：221122D D D C C C P v gh P v gh ρρρρ++=++将：0D C P P P == ，0D v =，12D h h h =+和0C h = 代入上式，得：()21212C g h h v ρρ+= 于是可求得管内的流速为：C v v ==可见，管内水的流速决定于C 点到容器内液面的垂直距离，此距离越大，流速也越大。
（2）对B 、C 两点运用伯努利方程，得221122B BC C P v gh P v gh ρρρρ++=++可简化为：()0123B C B P P gh P g h h h ρρ=-=-++可见，最高点B 的压强决定于该点到出水口C 的竖直距离，出水口C 越低，管内B 点的压强就越小。
因为B P 的最小值为零，当0B P =时，由上式可以求得：012310.339B P h h h h m gρ=++== 这表示，当C 点的位置低到使10.339B h m =时，0B P =注：若10.339B h m >时，由伯努利方程得：0B P <，这个结论是不正确的！这是因为伯努利方程适用的一个条件，是保持流体作定常流动。
而当B h 增大时，由C v v ==知，管内流体的流速将会增大。
随着流速的增大，定常流动的条件将遭到破坏，伯努利方程将不能再使用，由这个方程导出的结果也就不正确。
要保持定常流动，就不能使10.339B h m >，B 点的压强就不会出现负值。
（3）由上面的分析可以得到，当0B P =时，012310.339B P h h h h m gρ=++== 所以B h 的最大值就是10.339B h m =，若把C 点、B 点和A 点的位置都向上提，即减小()12h h +，增大3h ，这样B 点到液面的距离将会随之增大。
在极限情况下，当()120h h +→时，就有310.339B h h m →→。
所以，作为虹吸管，B 点离开容器内液面的最大距离不能超过10.339m 。
6-10 在一个盘子里盛上水，当水和盘子都静止时，水面是平的，而当盘子绕通过盘心并与盘面垂直的轴线旋转时，水面变弯曲了，试解释这种现象的成因。
答：当盘子绕通过盘心并与盘面垂直的轴线旋转时，水面变弯曲了，是因为水具有黏性。
6-11 如题图所示，在粗细均匀的水平管道上连通着几根竖直的细管，当管道中自左至右流动着某种不可压缩液体时，我们发现，这些竖直细管中的液体高度也自左至右一个比一个低，为什么？答：由于不可压缩液体有黏性，液体流动的过程中会引起能量的损耗，因此对水平管道内壁的压强会减小，故，竖直细管液体高度也自左至右一个比一个低。
6-12从油槽经过1.2 km 长的钢管将油输送到储油罐中，已知钢管的内直径为12 cm ， 油的黏度系数为0.32Pa s ⋅，密度为30.91g cm -⋅，如果要维持2315.210m s --⨯⋅ 的流量，试问油泵的功率应为多大？解： 首先根据泊肃叶公式求出油被输送到1.2 km 处所需要的压强差：61248 3.910V lQ P P Pa rηπ-==⨯ 为保持一定的流量，油泵的功率为：()()51212 2.010V Fv P P Sv P P Q W =-=-=⨯6-13 一种黏度为η的液体在重力作用下沿半径为R 的细竖直管作定常流动，试明，管中距管轴为r 处液体的流速为：()224g v R r ρη=- 式中ρ为液体的密度。