– 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。
– 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
– 塞弗曼（P G Saffmann）在1977年曾经预言，大 约在本世纪末，高度发展的计算机将有足够的能力 用数值计算方法求解紊流的精确方程，但在较近的 未来，精确地求解紊流问题无疑是不可能的。
– 到现在，DNS算法已有很大发展。
概述
• DNS之外的其他方法
– 求解时均N－S方程（即雷诺方程）。 – 作为紊流的通解， N－S方程描述了流体运动的一
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 雷诺时均方程的封闭问题
– 将瞬时值写成时均值+脉动值uu u，代入连
续方程和运动方程，并对方程两边取平均：
ux uy uz 0 x y z
u ti uj x uij fi 1 x pi xj x uij uiuj
– 引入数学方程或者代数公式，确定所产生的新未知
– 1945年，Prandtl 提出一个涡粘性依赖于紊动能k 的模型，建议使用一个偏微分方程的模型对精确的 k方程进行近似，得到了单方程模型，即k方程模型。
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。
项雷诺应力 u iu j ，而不引入新的变量。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
– 对应层流中切应力与流速梯度关系的公式： d u dy
– 引入一个涡粘度 t ，将紊流中的雷诺应力与流场 中的时均流速梯度建立下述关系：
t uvt dduyt dduy
t
-uiuj
t
xuij
xi
t /t
– 对于热输运问题,称为紊动普朗特数；对于质量输 运问题，称为紊动施密特(Schmidt)数。实验表明, 在流场中各点，甚至在不同型式的水流中，紊动普 朗特数几乎不变。
概述
• DNS之外的其他方法
– 大涡模拟LES。 – DNS可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构，但却
无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。 – 大涡模拟的思路是： DNS模拟大尺度紊流运动，而
利用亚网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度 紊流运动的影响。 – LES较DNS拟占计算机的内存小，模拟需要的时间 也短，并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息。
uj xi
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
– 当i=j时，假设不合理，引入湍流脉动所产生的压力
t
பைடு நூலகம்
-uiuj
t xuji
uj xi
ptij
– 紊流涡粘度与层流中的粘度相对应，也可称为表观
粘度。粘度是流体本身的物理特性，与流动情况无
关。但是涡粘度则不是流体的物理性质，而是紊流
二、紊流模型
• 1、概述 • 2、雷诺方程数值模拟（RANS） • 3、大涡模拟（LES） • 4、直接数值模拟（DNS）
概述
• 紊流运动的瞬时连续方程和运动方程
• 连续方程 • 运动方程
u 0，ui 0 xi
du f 1 p 2u
dt
ui t
uj
ui xj
fi
1 p
xi
2ui
xjxj
切细节，但在实际工程中具有重要意义的并不是紊 流的一切细节，而是紊流对于时间的平均效应。 – 雷诺（Osborne Reynolds）建议用统计方法将N －S方程取时间平均。但取平均的过程产生了新问 题：方程增加了新未知项，时均方程组不再封闭， 因此各种类型的紊流模型应运而生。 – 紊流模型可定义为一组方程，这组方程确定时均流 方程中的紊动输运项，从而封闭时均流动方程组 （零方程、单方程、双方程）。
概述
• 紊流模型分类
– 直接数值模拟（DNS）。直接求解N－S方程，必 须采用很小的时间步长与空间步长。
– 大涡模拟（LES）。 DNS模拟大尺度运动，亚网格 上模拟小尺度运动。
– Reynolds时均方程法（RANS）。将N－S方程对 时间平均，并通过一些假定建立模型，是目前工程 中所采用的基本方法。根据对雷诺应力的处理方式 不同，分为基于涡粘性假设的模型和应力输运模型 两类，根据引入方程的数量，前者又分为零方程、 单方程和双方程模型。
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1895年，Reynolds发表对紊流研究结果的文章。
– 1897年，Boussinesq((布辛涅司克))涡粘性假定。
– 他们都没有尝试对雷诺方程进行系统的求解，许多 粘性流动的机理尚未清楚。
– 1925年，Prandtl 提出了混合长度理论来计算涡粘 性，为早期的研究奠定了基础。早期贡献最为显著 的还有von Karman，1930 年提出相似性假定。此 类模型并没有引入微分方程，称为零方程或者代数 模型。
的一种流动特性，决定于流动的时均流速场和边界
条件。
– 引入涡粘性假设并未构成紊流模型，只是提供了构 造紊流模型的基础，但使模拟紊动应力问题转化为 确定的分布。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 紊动扩散概念
– 将紊动热(或质量)输运与紊动动量输运直接类比， 假设热(或质量)输运与被输运的量有关：
ui'
概述
• 直接求解连续方程和运动方程，即 DNS(Direct Numerical Simulation)。
• 原则上讲，DNS并无理论上的困难。
– 一方面，描述紊流运动的精确的微分方程已经得出， 即N－S方程；从数学观点看来，紊流就是N－S方 程的通解。
– 另一方面，数值计算方法的发展，已足以求解N－S 方程。
– 但是，现代计算机的储存的能力和运算速度尚不足 以求解任何一个实际的紊流问题。
概述
• DNS实际应用中的困难
– 紊流运动所包含的单元，比流动区域的尺度要小得 多。为了用数值计算方法求解紊动单元的运动要素， 数值计算的网格必须比紊动单元的尺度更小。如此 之多的网格点贮存各种变量，远远超过了现代计算 机的内存容量，而且，随着网格点的增加，算术运 算的次数显著增多，所需计算的时间令人望而却步。