振动力学课程设计x1 x2 x3年级：工程力学09级02班姓名：***学号：***********振动力学课程设计（大作业）的内容如下：1.在图示振动系统中，k k k k k k k k m m m m m m 3,,4,5,7,4,34321321=======建立系统的振动微分方程，要求写出详细的过程。
2.求系统的振动固有频率。
3.计算系统的振动模态，绘制主振型的示意图。
4.计算系统的主质量、主刚度和简正振型矩阵。
5.初始条件为：T 0T 0} 0.5 0, 0, { ,} 0.03 0, 0, {==x x ,位移单位为m,速度单位为m/s 。
求系统自由振动的响应。
6.在质量为m 1的物体上作用简谐力 sin )(t F t f ω=，求系统强迫振动的响应。
7.在质量为m 3的物体上作用非周期激励力 )()(t Fu t f =， )(t u 为单位阶跃函数，求系统强迫振动的响应。
8.在固定端和第1个物体之间安装一个阻尼系数为 1c 的阻尼器，在第1个和第2个物体之间安装一个阻尼系数为 2c 的阻尼器，在第2个和第3个物体之间安装一个阻尼系数为 c 3的阻尼器，在第3个物体和固定端之间安装一个阻尼系数为 c 4的阻尼器。
已知：c c c c c c c c 3 , 6 , ,2 4321====。
建立系统的有阻尼振动微分方程，计算系统的阻尼矩阵、模态阻尼矩阵。
9.用瑞利法估算系统的基频。
10.用传递矩阵法计算系统的固有频率。
解答过程如下：1.分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取 x1 、x2和x3 为广义坐标，由牛顿第二定律得⎪⎩⎪⎨⎧---=---=--=3423333122233221112211)()()()(x k x x k xm x x k x x k x m x k x x k x m自由振动微分方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++-=-++0)(0)(0)(34323333323212222212111x k k x k xm x k x k k x k x m x k x k k x m写成矩阵形式为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00000000003214333322221321321x x x k k k k k k k k k k x x xm m m上式即为系统的振动微分方程。
2. 令3k3m4m7mk5kx1 x2 x34k⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m m m 700040003M ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=321x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=k kk k kkk4054049K ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=321x x x x则振动微分方程可以写作0Kx x M =+令 0M K =-2ω即07404540439222=-------ωωωm k kk m k k k m k展开得系统的本征方程0107404405842422633=-+-ωωωk mk m k m用MATLAB 求解该方程得m k m k m k8911.18945.06672.0321===ωωω3.广义本征值方程为0φM K =-)(2)(i i ω )3,2,1(=i，解得，令）（16672.0131==φωm kT118839.04613.0）（）（=φ，解得，令）（18945.0232==φωm kT216009.1-9703.0-）（）（=φ，解得，令）（18911.1333==φωm kT310338.21-6668.48）（）（=φ模态矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11121.0338-1.6009-0.883948.66689703.0-4613.0φ主振型示意图如下图所示4.用MATLAB 求主质量和主刚度)1()1(1M φφT p M =[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=18839.04613.070004000318839.04613.0m m m m 7635.10=)1()1(1K φφT p K =0.4613 0.88391-0.9703-1.6009148.6668-21.03381[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=18839.04613.0405404918839.04613.0k kk k kk kk 7918.4=m M T p 0760.20)2()2(2==M φφk K T p 0627.16)2()2(2==K φφ m M T p 1.8882)3()3(3==M φφkK T p 31763)3()3(3==K φφ，的各元素除以令）（pi i M φmm m NN N 10106.02232.05164.0,12232.03573.02166.0,13048.02694.01406.0321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=φφφ ()m N NNN 10106.02232.03048.02232.03573.02694.05164.02166.01406.0321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==φφφφ上式即为简正振型矩阵。
5.用MATLAB 求得模态矩阵的逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0008.00095.00164.03488.03189.01450.06504.03284.01286.01φ主质量和主刚度为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1.88820000760.200007635.10M φφM T p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==317630000627.160007918.4K φφK Tp主坐标为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+--++==-3213213210008.00095.00164.03488.03189.01450.06504.03284.01286.0x x x x x x x x x p x φx 1得到用主坐标表示的动力学方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+05761.308001.004452.0321x m k x x m k x x mk x pp p将原坐标的初始条件化为主坐标的初始条件⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==--0004.01744.03252.0)0(,0000.00105.00195.0)0(0101x φxx φx p p则主坐标表示的系统自由振动规律为1111sin 3252.0cos 0195.0ωωωtt x p += 2222sin 1744.0cos 0105.0ωωωtt x p +=333sin 0004.0ωωtx p =转换为实际坐标表示的系统自由振动规律为32116668.489703.04613.0p p p x x x x +-= 32120338.216009.18839.0p p p x x x x --=3213p p p x x x x ++=6.系统的动力学方程为t ωsin F Kx x M =+其中 ()TF00=F令TX X t )(,sin 21==X X x ω代入上述方程后得到F M )X (K =-2ω 计算与主坐标对应的激励力幅值，得到()TF FF6668.489703.04613.0-==F φF T p列出解耦的主坐标受迫振动方程 tB x x j j pj j pj ωωωsin 22=+ )3,2,1(=j其中,0963.0111k F k F B p p ==,0604.0222k F k F B p p -==kFk F B p p 0015.0333==解出t s B x j j pj ωsin 12⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=其中j j s ωω= )3,2,1(=j 转换为原坐标的受迫振动规律⎪⎭⎪⎬⎫++=--=+-=3213321232110338.216009.18839.06668.489703.04613.0p p p p p p p p p x x x x x x x x x x x x7.作用于系统上的激励力为()Tt Fu t )(00)(=F变换为主坐标的激励力为()Tt Fu t Fu t Fu t t )()()()()(==F φF T p列出主坐标动力学方程)(t p p p p p F x K xM =+写出各主坐标的响应函数tM t h j jpj pj ωωsin 1)(=)3,2,1(=j⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=313212111sin 000sin 000sin )(ωωωωωωp p p p M t M t M tt h脉冲响应矩阵为Tp )φ(φh h t t =)(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+---++-++--+++=c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a 0338.216009.18839.06668.489703.04613.00338.216009.18839.04.4425629.27813.06.10235534.14077.06668.489703.04613.06.10235534.14077.05.23689415.02128.0其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛===333222111sin ,sin ,sin ωωωωωωp P p M t c M t b M t a τττd t F h t x t)()()(0-=⎰ττd t Fu c b a c b a c b a t)(0338.216009.18839.06668.489703.04613.00-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+-=⎰.1,0;0,=<<=>u t u t 时时而τττωτωωτωωτωFd M M M t x tp p p ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∴03332221111sin 6668.48sin 9703.0sin 4613.0)( ()()()[]t t t k F321cos 10015.0cos 10604.0cos 10963.0ωωω-+---=同理可求得()()()[]t t t k Ft x 3212cos 10007.0cos 10997.0cos 11845.0)(ωωω-----=()()[]t t k Ft x 213cos 10623.0cos 12087.0)(ωω-+-= 8.分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取 x1 、x2和x3 为广义坐标，由牛顿第二定律得)()(122111221111x x c x c x x k x k x m-+--+-= )()()()(23312223312222x x c x x c x x k x x k xm -+---+--= 342333423333)()(x c x x c x k x x k x m ------=则自由振动微分方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++-++-=-++--++-=-++-++0)()(0)()(0)()(3432334323333323212332321222221212212111x k k x k x c c x c xm x k x k k x k x c x c c x c x m x k x k k x c x c c x m写成矩阵形式为40540499606703700040003321321321=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x k kk k k kk x xx c c c c c c c x x x m m m上式即为有阻尼振动微分方程。