2、确定初始方案的步骤：
（1）选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=
第 a 第i个产地的产量全部运到 j个销地 i b 满足第j个销地需求 j
将具体数值填入xij在表中的位置；
（2）调整产销剩余数量：从ai 和bj 中分别减去 xij的值，若ai-xij=0，则划去产地Ai所在的行，即 该产地产量已全部运出无剩余，而销地Bj 尚有 需求缺口bj-ai ；若bj-xij =0，则划去销地Bj 所在 的列，说明该销地需求已得到满足，而产地Ai 尚有存余量ai-bj； （3）当作业表中所有行或列均被划去，说明所 有的产量均已运到各销地，需求全部满足，xij 的取值构成初始方案。否则，在作业表剩余的 格子中选择下一个决策变量，返回步骤（2）。
200 250 450
例3-2
的数学模型
min Z 90x11 70x12 100x13 80x21 65x22 75x23 总运输量 x11 x12 x13 200 x x x 250 日产量约束 21 22 23 x11 x21 100 s.t. x12 x22 150 需求约束 x13 x23 200 xij 0, i 1,2; j 1,2,3;
3、举例
例3-2 甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 距离见表3-4，求使总运输量最少的 调运方案。
表3-4
运距 煤矿 甲 乙 日销量 （需求量） 90 80 100 城市
例3-2有关信息表
A B C
日产量 （供应量）
70 65 150
100 75 200
可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对于每一个非基变量而言，以其为起点的闭回 路存在且唯一。
约定作为起始顶点的非基变量为偶数次顶 点，其它顶点从1开始顺次排列，那麽，该非 基变量xij的检验数：
ij =（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和） -（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）
（3-6）
现在，在用最小元素法确定例3-2初始调运 方案的基础上，计算非基变量X12的检验数 ：
三、最优性检验
检查当前调运方案是不是最优方案的过程 就是最优性检验。检查的方法：计算非基变量 （未填上数值的格，即空格）的检验数（也称 为空格的检验数），若全部大于等于零，则该 方案就是最优调运方案，否则就应进行调整。
1、闭回路法
以确定了初始调运方案的作业表为基础，以 一个非基变量作为起始顶点，寻求闭回路。 该闭回路的特点是：除了起始顶点是非基变 量外，其他顶点均为基变量（对应着填上数值 的格）。
u1 v1 c11 90 u v c 100 1 3 13 u 2 v 2 c 22 65 u 2 v3 c 23 75
（3-7）
例3-2初始调运方案位势变量对应表
调 运 量 产地 销地 B1
B2
B3 70 100 100
产 量 200 250 450
=70+75-（100+65）=-20， 非基变量X21的检验数：
21 =（c +c ）-（c +c ） 21 13 11 23
=80+100-（90+75）=15。 经济含义：在保持产销平衡的条件下，该非 基变量增加一个单位运量而成为基变量时目 标函数值的变化量。
2、位势法
以例3-2初始调运方案为例，设置位势变 量 u i 和 v j ，在初始调运方案表的基础上 增加一行和一列（见下页表格）。 然后构造下面的方程组：
用西北角法确定例3-2初始调运方案
调 运 量 产地 销地 B1
B2 70
B3 100
X13
产量 200 100 250 200
100 90 100
A1
X11 X12
80
A2
销 量
X21
50 65 X22
200 75
X23
100
150 50
200 450
得到初始调运方案为： x11=100，x12=100，x22=50，x23=200
ε=min{该闭回路中奇数次顶点调运量xij}
ij
继续上例，因σ12=-20 ，画出以x12为起始变量的闭回 路
调 运 量 产地 销地 B1
B2
B3 70 100 100
产量 200 250
100 90 A1
X11
A2
பைடு நூலகம்销 量
X13 + X12 80 150 65 100 75 X21 X23 + - X22 100 150 200
在 式 （ 3-7 ） 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100，u2=-25，v2=90，于是 σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20 σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15
与前面用闭回路法求得的结果相同。
复习比较检验数计算的两种方法 闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和） -（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）
初始方案的每一个基变量xij对应一个方程— —-—所在行和列对应的位势变量之和等于该基 变量对应的运距（或运价）：ui+vj=cij；
方程组恰有一个自由变量，可以证明方程 组中任意一个变量均可取作自由变量。
给定自由变量一个值，解方程组式（3-7）， 即可求得位势变量的一组值，根据式（3-6）结 合方程组（3-7），推出计算非基变量xij检验数 的公式 σij=cij-（ui+vj） （3-8）
按照上述步骤产生的一组变量必定不构成 闭回路，其取值非负，且总数是m+n-1个， 因此构成运输问题的基本可行解。 对xij的选择采用不同的规则就形成各种不 同的方法，比如每次总是在作业表剩余的格 子中选择运价（或运距）最小者对应的xij ， 则构成最小元素法，若每次都选择左上角格 子 对应的xij 就形 成西北 角法（ 也称左 上角 法）。
Page :1
Shipment @cost Opp.c t.
S1 S1 S1
D1 D2 D3
+50.000
Maximize 1 minimize 2 Number of sources? Number of destinations? Number of transshipment point? Use the default names(S1 …Sn ,D1 …Dn ,T1…Tn) <2> <2> <3> <0>
（3-6）
位势法计算非基变量xij检验数的公式 σij=cij-（ui+vj） （3-8）
思考：试解释位势变量的含义（提示：写出运输问 题的对偶问题）
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数σij 小于零，则首先在作业表上以xij 为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
输出最优方案
结 束
改进调整 （换基迭代）
图3-1 运输问题求解思路图
二、 初始方案的确定
1、作业表（产销平衡表） 初始方案就是初始基本可行解。
将运输问题的有关信息表和决策变量(调运量) 结合在一起构成“作业表”（产销平衡表）。
表3-3是两产地、三销地的运输问题作业表。
表3-3 运输问题作业表（产销平衡表）
分别使用最小元素法和西北角法求出初 始方案。 & 最小元素法的基本思想是:
“就近供应” ；
& 西北角法则不考虑运距(或运价)，每次 都选剩余表格的左上角(即西北角)元素作 为基变量，其它过程与最小元素法相同 ；
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 运 量 产地 销地 B1
B2
B3 70 100 100
450
计算调整量：ε=Min（100，150）=100。 按照下面的方法调整调运量：
闭回路上，奇数次顶点的调运量减去ε，偶数 次顶点（包括起始顶点）的调运量加上ε；闭 回路之外的变量调运量不变。
得到新的调运方案：
调
运
销地
量 B1
B2 100 70
X12
B3 100
X13
产量 200 250
例3-2初始调运方案中以X12(X21)为起点的闭回路
调 运 量 产地 销地 B1
B2
B3 70 100 100
产量 200 250
100 90 A1
X11 X12
X13
80 150 65 100 75
A2
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
调
运 量
销地
B1
B2 c11 c12
X12
B3 c13
X13
产量
产地
A1 A2
销 量
X11
a1 a2
c21
X21 X22
c22
c23
X23
2
b1
b2
b3
a b
i 1 i j 1
3
j
其中xij是决策变量，表示待确定的从第i个产 地到第j个销地的调运量，cij为从第i个产地到 第j个销地的单位运价或运距。
X23
100
150
200
结 果
最优调运方案是： x11=50，x12=150，x21=50，x23=200
相应的最小总运输量为：