博弈论教学/公共物品的私人自愿供给
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目录
■1 公共物品(public goods)
■2 背景
■3 分析
■3.1 求解方法
■3.2 居民个人独立决策(纳什均衡)
■3.3 居民整体统一决策(帕累托最优)
■4 柯布-道格拉斯个人效用函数
■5 延伸阅读
1 公共物品(public goods)
公共物品是指公共使用或消费的物品。

公共物品是可以供社会成员共同享用的物品，严格意义上的公共物品具有非竞争性和非排他性。

所谓非竞争性，是指某人对公共物品的消费并不会影响别人同时消费该产品及其从中获得的效用，即在给定的生产水平下，为另一个消费者提供这一物品所带来的边际成本为零。

所谓非排他性，是指某人在消费一种公共物品时，不能排除其他人消费这一物品（不论他们是否付费），或者排除的成本很高。

通常不具备排他性或(和)竞争性,一旦生产出来就不可能把某些人排除在外的商品称为(纯)公共物品。

所谓商品的排他性是指商品的生产者或者购买者可以很容易地把他人排斥在获得该商品带来的利益之外；商品的竞争性是指消费商品的数量与生产这一数量的成本有关。

2 背景
设想有n个居民正在建设大坝，每个居民自愿提供沙袋，沙袋的总供给等于所有居民的个人供给只和，沙袋越多，大坝越安全。

假设：①沙袋用于建设大堤，所有居民都受益，而私人物品只能使自己受益；②每个居民的个人收入只用于两个方面：a沙袋消费，b私人物品消费；③每个居民都有决定两项消费在个人收入中所占份额的自由；④增加一个人享用大堤，不会导致成本的增加，而要排除任何人对它的分享却要巨大的成本。

3 分析
假设居民i的私人物品消费量为，私人物品价格为，沙袋的价格为，个人总收入为.
个居民的贡献为个沙袋，则总沙袋（即公共物品的总供给）为。

居民函数（即收益）为。

的行动是私人消费物品数量和公共物品自愿供给量。

总支出（即）下，最大化其效用。

引入拉格朗日乘数，求极值，最大化目标函数
，
集体效用函数为，总约束条件为
采用拉格朗日乘数法，最大化目标函数：
消去得到帕累托均衡为
因为,
道格拉斯函数：，其中，，，使其满足公共物品及私人物品效用为正且边际替代率递减的假设。

，所以
,
，
，那么纳什均衡为，帕累托最优均衡为。