P
Q
C
R
A
B
小结：凡用三垂线定理或逆定理证明的 结论，都能由线面垂直的性质证明，我 们的学习目标应该是直接熟悉这两个定 理的应用。
例题2、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于 AD，求证：AC ⊥BD。
证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过 A作AO⊥平面BCD于O，连结BO， ∵AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂线逆定理）， 同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心， ∴BD⊥OC，∵OC是AC的射影，∴BD⊥AC （三垂线定理）。 若AB ⊥平面BCD，垂线即是AB， 由条件BC⊥AD，则BC⊥BD（三 垂线逆定理），而BC是AC的射 影， ∴BD⊥AC（三垂线定理）
能力拓展：
1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BC=1，AD 6 ，M是CF的中点，求证AE⊥DM。
AC 证明：连结AF， MF 3 CF 6 2, 2 AF 6 2 2
D E
F
∴ Rt ∆AFC∽ Rt ∆MDF， ∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°， ∴ DM ⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴ CF⊥EF，又EF⊥DF，∴ EF⊥平面AF，由三 垂线定理知AE⊥DM
证明：∵PA ⊥平面ABC， ∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， ∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直 角三角形； ∴BC⊥ 平 面 PAC ， AQ 在 平 面 PAC 内 ， ∴ BC⊥AQ ， 又 PC⊥AQ ， ∴ AQ⊥平 面 PBC ， ∴ QR 是 AR 在平面 PBC 的射影，又AR⊥PB， ∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴ ∆ PQR 是直 角三角形。
例题4、直角三角形ABC中，∠B= 90°， ∠C= 30°， D是BC的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，求E到斜线 AC的距离？
解：过点D作DF ⊥AC于F，连结EF， ∵DE⊥平面ABC，由三垂线定 理知EF⊥AC，即E到斜线AC的 距离为EF，在Rt ∆ABC中， ∠B= 90°，∠C= 30°，AC=2， ∴BC= 3, CD 3 2 A 3 ，∵DF⊥AC， ∴ CD 4 在Rt ∆EDF中
（A）垂直
（B）异面
（C）相交
（D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ） （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形
P
（C）可能都是直角三角形
（D）一定都不是直角三角形
A C
B
四、例题分析：
例1：如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
M A C B
能力拓展：
2、过Rt ∆BPC的直角顶点P作线段PA ⊥平面BPC，求证： ∆ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。 证明：∵H是∆ABC的垂心，连结AH延长交 BC于D，连结BH延长交AC于E，∴AD⊥BC， BE⊥AC，∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD， AD∩PD=D，∴BC⊥平面ADP，∴BC⊥PH， 又AP⊥面PBC，∴AP⊥PB，由已知BP⊥PC， ∴PB⊥面APC，又BE⊥AC，∴PE⊥AC， ∴AC⊥面PBE，∴PH⊥AC，AC∩BC=C， ∴PH⊥面ABC，∴H是P点在平面ABC的射 影。
A P
C
B
思考：
（1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内 容。
线线垂直的方法 ：
（1）a⊥ ,b在 内，则a⊥b
（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直。
二、定理内容阐述：
1、三垂线定理包括5个要素：一面“垂面”；四线（斜线、垂线、 射影和平面内的直线。
顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随 便。 2、“三垂线”的含义： （1）垂线与平面垂直 （2）射影与平面内的直线垂直 （3）斜线与平面内的直线垂直

三、定理巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则 这条直线 与斜线的位置关系是（ D ）
EF DF 2 DE 2 19 4
E B
D
F
C
为所求
小结：求点到直线的距离，常运用三垂线 定理（或逆定理）把它作出，按“一作、 二证、三计算”的步骤求解。 方法规律： 三垂线定理及其逆定理的应用：（1） 证明两条异面直线垂直；（2）确定二 面角的平面角；（3）确定点到直线的 垂线段。 运用定理时要习惯非常规位置图形上应 用，不能只习惯于水平放置的平面上运 用。
B A
E
P
H C D
资兴市一中 谢谢光临指导
石器时代sf http://www.shiqi.co 石器时代sf
twc19tvu
位老人家后，回到自己租住的房间。耿英进套间里看了看，出来低声对耿正说：“哥，我不想一个人睡套间里”耿正心 痛地想：爹刚刚没了，妹妹大概是因为伤痛过度而导致胆怯了，就对她说：“外间的大床很宽敞呢，能睡得下三个人的， 咱们都睡大床吧，过些天住习惯了就好了。等你什么时候想到套间里睡了，再搬进去！”晚上，兄妹三人躺在宽敞的大 床上低声说话。耿正说：“谢天谢地，我们找到了这么好的房东。”耿英说：“是啊，他们是难得的好人，而且房租实 在是不高。”耿直说：“就是这巷子也太深了一点儿。从大街上进来，得走好一会儿呢。”耿正说：“巷子深点儿没有 关系的，反正咱们现在又做不起任何生意。”耿英叹息一声：“咳，还做什么生意啊！咱们眼下最重要的是赶快想办法 赚钱养活自己！”耿正说：“英子你说得对，咱们必须得赶快想办法赚钱养活自己！明儿个一早，咱们就到街面上转一 转，看看有没有需要帮忙干活儿的地方。”耿英说：“最好是能找一个可以发挥我们特长的地方，比如收银记账什么 的。”耿直难过地说：“看来啊，我今后可成了你俩的累赘了”耿正和耿英听了，忍不住鼻子阵阵发酸。他俩一边一个 伸出一只手来紧紧地抓住了弟弟的手耿正说：“傻兄弟你在说什么呢，你永远都是哥哥姐姐的开心果哇。哥哥姐姐会教 你习字算账，把咱爹交给我们的文化知识全都教给你。而且啊，我们俩也要继续学习的。咱爹说过，学无止尽呢。”耿 英也说：“小直子，你哪里是哥哥姐姐的累赘啊，你是我俩的好帮手哩，我们不能没有你啊！”耿直哭了。哥哥姐姐为 他擦干眼泪。姐姐还含着泪在他的额头上亲了一下，说：“听咱哥的，以后可要好好地读书习字啊！”耿直用劲点点头， 抽泣着坚定地说：“我会的”次日一早，耿正兄妹三人来老夫妇这边告辞，说是要去街面上转转，看看有没有适合做的 活计。老妇人说：“吃了早饭以后再出去吧！”耿正说：“谢谢奶奶，不用了。我们昨儿个进来时，发现巷子口的西边 有一个小饭店，价格挺便宜的，就到那里简单吃一点儿吧！”老爷子说：“哦，那是老梁头夫妇俩开的小铺子啊！他们 已经开了好多年了，是大好人哩，卖的各种小吃价格挺合理的，铺子里也很干净。”耿英说：“噢，我看到了，门口的 招牌上写着‘梁计小饭店’呢！”老妇人也就不再客气什么了，说：“那也好，你们就去那里简单对付对付吧。还有事 儿要办呢，就不耽误你们的时间了。喏，这是院门儿的钥匙，你们随身带上吧！要是我俩不在家，你们就自己开门回 来。”一连几日，耿正兄妹三人都是早出晚归，但却总也找到一个合适的事情可做。转眼间，时间已经快到仲夏的农历 十五了，事情仍然没有任何结果。那一晚，夜空中的浮云一朵朵一片片的，透过窗
三垂线定理
复习课 主讲 黄永行
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理，并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。
一、课题引入 引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC 内，∴ PA⊥BC，又∠ ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面 PAB ， PB 在 平面PAB内，∴BC⊥PB
（用
E
D C
B
cos
ABC
SADE
）
小结：求二面角往往是作出二面角的平面角， 先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二 面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到 平面角，从而转化为平面问题来解决。作二 面角的平面角的方法有（1）定义法，（2） 三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面 积定理也是求二面角大小的一种常用方法。
B O A
Байду номын сангаас
D
C
小结：运用三垂线定理及逆定理，必然 要涉及平面的斜线，此题的讨论是必要 的。
例题3、如图示，已知DB、EC都垂直于正三角ABC所 在的平面，且BC=EC=2DB，求平面ADE与平面ABC所 成二面角的平面角。
解：延长ED、BC交于F，连AF，则AF 为二面角的棱，由已知DB、EC都 垂直正三角ABC，∴ DB//EC，又 BC=EC=2DB∴ FB=BC=AB，∴ ∆FAC A 为Rt ∆，且FA⊥AC，而EC ⊥平面 ABC，∴ AF⊥AE（三垂线定理）， 于是∠EAC为平面ABC与平面ADE的平 面角，又EC=AC，∴ ∠EAC= 45°， ∴ 二面角的平面角为45°。 思考：本题还可以用什么方法求二 面角的平面角？ F s