高中数学第2章平面向量 2.1 向量的概念及表示成长训练苏教
版必修4
夯基达标
1.下列关于向量的说法中，正确的是（）
A.长度相等的两向量必相等
B.两向量相等，其长度不一定相等
C.向量的大小与有向线段起点无关
D.向量的大小与有向线段起点有关
解析：长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点并无关系，故D错.
答案：C
2.下列命题中正确的是（）
A.若|a|＞|b|则a＞b
B.若|a|=|b|则a=b
C.若a=b则a与b共线
D.若a≠b则a与b一定不共线
解析：因为向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此，A不正确；两个向量的模相等，但方向却不一定相同，因此B不正确；相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此C正确；对于选项D，两个向量不相等，可能是长度不同方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故D不正确.
答案：C
3.关于向量的说法有以下几个，其中，说法错误的个数是（）
①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
A.2
B.3
C.4
D.5
解析：①说法正确；②不正确，若a、b中有一个为零向量时，其方向不确定；③正确；④不正确，终点相同并不能说明两向量的方向相同或相反；⑤不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；⑥不正确，向量可以用有向线段来表示，但向量并不是有向线段. 答案：C
4.已知下列三个位移：飞机向南飞行50 km；飞机向西飞行50 km；飞机向东飞行50 km，下列判断中正确的是（）
A.这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等
B.这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等
C.这三个位移不相等，且这三个位移的长度不相等
D.以上都不正确
解析：由于位移是向量，题中所给的三个位移方向均不相同，但其大小是相同的.
答案：B
5.四边形ABCD中=2，则四边形ABCD为（）
A.平行四边形
B.矩形
C.梯形
D.菱形
解析:∵AB =2DC ，∴AB ∥DC 且|AB |=2|DC |.故四边形为梯形.
答案:C
6.如图所示，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有__________个（ ）
A.3
B.6
C.8
D.12
解析:1个单位长度的向量有，，，，，6个.
2个单位长度的向量有，，，4个.
3个单位长度的向量有,2个.
因此，共6+4+2=12个，但其中AC =CD =DB ，BD =DC =CA ，AD =CB ，BC =DA ，因此互不相等的向量最多只有6个.
答案:B
7.给出以下5个条件：①a =b ；②|a |=|b |；③a 与b 方向相反；④|a |=0或|b |=0，其中能使a ∥b 成立的条件是_______________.
解析：|a |=|b |并不能一定推出a ∥b ，其余选项均可以.
答案：①②③
8.⊙O 的周长是2π，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上一点，∠BAC=
6
，CD ⊥AB 于D ，这时|CD |=_____________.
解析：∵△ABC 为Rt△，且∠BAC=30°，∠ACB=90°，AB=2，
∴BC=1，AC=3， ∴CD=23，即||=2
3. 答案：
23 9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行21000cm 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
解析：如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形.
∴AC=2 000 km，
又∵∠ACD=45°，CD=21000.
∴△ACD 为直角三角形，即AD=21000km ，∠CAD=45°.
答：丁地在甲地的东南方向距甲地21000km.
10.一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进1 m ，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1 m ，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1 m ，按此方向继续操作下去.
（1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；
（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个.
解析：（1）如图，操作8次赛车的位移为零；（2）要使赛车能到出发点，只需赛车的位移为零，按（1）的方式作图，则所作图形是内角为180°-α的正多边形，故有n （180°-α）=（n-2）·180°， ∴n=α︒
360，n 为不小于3的整数.
如α=30°，则n=12，即操作12次可回到起点.
又如α=15°，则n=24，即操作24次可回到起点.
走近高考
11.(2005北京宣武区模拟)若命题甲：=，命题乙：ABCD 是平行四边形，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分，也不必要条件
解析:由=得线段AB 、DC 长度相等且平行或共线，所以ABCD 不一定是平行四边形；由ABCD 是平行四边形得AB DC,所以=.
答案:B
12.(2004天津统考)给出下列六个命题，其中不正确的命题的个数为（ ）
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同; ②若|a |=|b |，则a =b ;③若AB =DC ，则四边形ABCD 是平行四边形;④平行四边形ABCD 中，一定有=;⑤若m=n ，n=k ，则
m=k;⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
A.2
B.3
C.4
D.5
解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确，根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确.③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上，零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b=0，则a与c就不一定平行了.因此⑥也不正确.
答案：C。