空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
、禾U用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1已知直四棱柱ABC D A i B i CD中，AA= 2,底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB//
CD AB= 4, AD= 2,DC= 1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值.
解析：如图1, 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角
1 , 2)、B(2, 4, 0), •- BC =(-2,3,2) , CD
=(0, -1,0).
坐标系，则C （0,
设BC i与CD所成的角为v
CD 3 '17
17
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2，在三棱柱ABC- ABC中，AB丄侧面BBCQ, E为棱CC上异于C C的一点,
EAL EB.已知AB = J2 , BB = 2, BC= 1, / BCC=上.求二面角A- EB—A的平面角的正切值.
3
解析：如图2，以B为原点，分别以BB、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB 的直线为x轴建立空间直角坐标系.
由于BC= 1, BB= 2, AB= -/2，/ BCG=—,
3
•••在三棱柱ABC- ABC 中，有（0, 0, 0）、（0, 0,
C
1 第3 /
—,—,0 .
I2 2丿輛〕〔3设E — , a, 0 且一丄<a<
3
,
I2丿22
由EAL EB，得EAEB =0,
CD
BA 丄EB ，故二面角 A- EB —A i 的平面角日的大小为向量 BA 与 EA 的夹角.
訳=BA = （0,0八 2） , EA 二
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD 丄底面ABCD
AB 丄 VA
又ABL AD 从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA AD 都垂直，二 (2)设E 为DV 的中点，则
J-1显1 I 2
2丿 即「2，一皿］ X ,2—aJ
< 2 丿
+a （a —2）=a 2—2a+3=0,「. 'a —丄 |
4 I 2丿
3 4 即-2或a =| (舍去).故
E 佇，,0 . ■ 3i
3 去（3,0,_Q
,时,2, -纠 辽 2丿 I 2 2丿
，DV =（1,0, 3）. 由已知有EA _ EB i , 故 COS V =
灵晁^，即ta —子
EA'B 1A 1
(1)证明 AE 丄平面VAD
(2)求面 VAD 与面VDB^成的二面角的余弦值.
解析：(1) 取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系.
设 AD= 2，则 A （1，0，0）、D （— 1，0，0）、B （ 1，2，0）、
V （0，0，爲），二 AB =（0， 2， 0） ， VA =（ 1，0， — V 3 ）.
由 ABVA = （0,2,0壯1,0, - . 3） = 0，得
AB 丄平面VAD
故所求二面角的余弦值为 —21
7
四、禾U 用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
已知正四棱锥 V-ABCD 中, E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a ,高为h .
即 cos Z DEB =「6a 2 h ：； 10a 1 2 +h 2
(2)因为E 是VC 的中点，又BE! VC
c 2 , 2
3 2 a h a 0 ,• h -、2a . 2 2 2
1 1
，即 cos Z DEB 二-一
• EB[DV 」i,o,J 3)=o ,
••• E 吐 DV
又 EAL DV 因此/ AEB 是所求二面角的平面角.
(1) 求/ DEB 的余弦值;
(2) 若BE! VC 求/ DEB 的余弦值.
解析: (1)如图4,以V 在平面AC 的射影
O 为坐标原点建立空间直角坐标系， 其中O x / BC O y // AB,则由 AB^ 2a , OV= h ,有 B (a ,
a , 0)、C (- a , a ,0)、D( - a , -a,0)、V (0, 0, h)、*222'丿
•晁…3a ,
I 2
a h 2 2) 丨h a,_ •- cos ：. BE ,DE
BE DE 2 2 ? 10a h =o ,即 _3a,-a h I 2
2,2 心，a ，-h )“ , 这时 cos ；： BE ,DE -6a 2 h 2 10a 2 h 2
E 八EB .'21 …cos
EB _ 7
图4
所以
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等) 自身对称性可建立空间直角坐标系.
例5已知两个正四棱锥 P — ABCDf
Q-ABCD 勺高都为 2, AB= 4.
(1) 证明：PQL 平面ABCD
(2) 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角;
(3) 求点P 到平面QAD 勺距离.
(2)由题设知，ABCDI 正方形，且ACL BD 由( 1),PQL 平面ABCD 故可分别以直线 CA, DB , QP 点评：禾U 用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得 出•第
(3)问也可用“等体积法”求距离. 3 3 ，利用 为x , y , z 轴建立空间直角坐标系(如图 1),易得 A5 =(—2J2Q ，- 2),PB =(0,2、2- 2), cos ：： AQ ,PB =
AQ PB
1 arccos —. 3
(3)由(2)知，点 D(0,— 2矩0) AD =(—2逅,—2J2,0)PQ
所求异面直线所成的角是 = (0,0, 4).
设n = (x , y , z )是平面QAD 的一个法向量，则 0
[nLAD = 0,
得、，2x • z = 0,取 1,得 x y =0, n = (1, -1, - .2) •点P 到平面QAD 勺距离d -
PQL n
n| =2】2 .。