初三数学中考压轴题复习——图形的旋转一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）1．（10分）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．（1）求证：△MNC是直角三角形；（2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值围；（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，①当直线AD与⊙N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系；②当S△MNC=S△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．2．（10分）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；②当时，求AD的长．3．（10分）将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，在AE上取点N，使∠MCN=90°．设AC=2，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．（1）求证：MN∥DE；（2）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，①当直线AD与⊙N相切时，试S△MNC与S△ABC之间的关系；②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时，试探求直线AD与⊙N的各种位置．4．（10分）含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α=_________°；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；（3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．5．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D 上，使三角板绕点D旋转．（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明．（2）如图1，设AF=x，四边形CEDF的面积为y．求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值围．（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E，连接AE与CD延长线交于H，如图2，求DH的长．6．（10分）已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．（1）如图①，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）．（2）如图②，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE=x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围．（3）若BD=2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F，另一条直角边交射线AB于点E．设CF=x（x＞1），重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围．7．（10分）把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF长均为4．（1）当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值；（2）现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α＜30°（如图②），EG交AC于点K，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；（3）在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围；（4）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出相应的旋转角α；若不存在，说明理由．8．（10分）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．9．（10分）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．（1）当α=30°时，求x的值．（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值围；（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．10．（10分）操作：在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．探究：（1）如图①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则重叠部分四边形DCEP的面积为_________，周长_________．（2）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．（3）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由．答案与评分标准一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）1．（10分）（2008•）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC 的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．（1）求证：△MNC是直角三角形；（2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值围；（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，①当直线AD与⊙N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系；②当S△MNC=S△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．考点：二次函数综合题；勾股定理的逆定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质。

专题：综合题；压轴题；分类讨论。

分析：（1）利用平行线的性质和等量代换，易得△ABM∽△ACN，再由等量代换得到∠MCN=90°即可；（2）由于△MNC是直角三角形，则有S△MNC=MN•CN，而MC=4﹣x，故利用相似三角形的对应边成比例用含x的代数式表示出CN，就可求得S△MNC的函数关系式．（3）①当直线AD与⊙N相切时，利用AN=NC，确定出CN的值后，用2中的S△MNC的函数关系式，确定S△MNC 与S△ABC之间的关系；②当S△MNC=S△ABC时，求得x的值，讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系．解答：解：（1）MN∥DE，∴，又∵AD=AB，AE=AC，∴，又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，∴AC=2，AB=2，∴△ABM∽△ACN，∴，∴，∴S△MNC=MN•CN=（4﹣x）•x=（4x﹣x2）（0＜x＜4）．（3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，∵△ABM∽△ACN，∴，∴AM=MB．∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．又∵∠ACB=90°﹣30°=60°∴△AMC是等边三角形，有AM=MC=BM=BC=2，即x=2．S△MNC=（4x﹣x2）=，∵S△ABC=AB•AC=2，∴S△MNC=S△ABC．②当S△MNC=S△ABC时∴S△MNC=（4x﹣x2）=解得x=1或x=3．（i）当x=1时，在Rt△MNC中，MC=4﹣x=3，∴MN==∵，即AN＞NC，∴直线AD与⊙相离．（ii）当x=3时，同理可求出，NC=，MC=1，MN=2，AN=1∴NC＞AN∴直线AD与⊙相交．点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质求解，运用了分类讨论的思想．2．（10分）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；②当时，求AD的长．考点：相似三角形的判定与性质；旋转的性质；平行线分线段成比例。

专题：压轴题；数形结合；分类讨论。

分析：（1）由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°；（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知、及由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE；根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得（0＜x＜2）；②先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x；当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x﹣2．解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴∠ABC=60°．（1分）由旋转可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB∴△B′BC为等边三角形．（2分）∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．∵DE∥A'B'，∴．（1分）由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．∴，（1分）∴．∴△CAD∽△CBE；（1分）∴．∵∠A=30°∴=．（1分）∴（0＜x＜2）（2分）②当0°＜α＜90°时，点D在AB边上．AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x，∵DE∥A′B′，∴，由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．∴，∴，∴△CAD∽△CBE，∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，∴∠DBE=90°．此时，．当S=时，．整理，得x2﹣2x+1=0．解得x1=x2=1，即AD=1．（2分）当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图）．仍设AD=x，则BD=x﹣2，∠DBE=90°，．当S=时，．整理，得x2﹣2x﹣1=0．解得，（负值，舍去）．即．（2综上所述：AD=1或．点评：本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识．解决本题的关键是结合图形，分类讨论．3．（10分）将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，在AE上取点N，使∠MCN=90°．设AC=2，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．（1）求证：MN∥DE；（2）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，①当直线AD与⊙N相切时，试S△MNC与S△ABC之间的关系；②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时，试探求直线AD与⊙N的各种位置．考点：切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；旋转的性质。