等号成立当且仅当 a b. 由于 ab 16, 因此当 a b 时，有a 2 16 ，从而 a 16 4 ，此时 a b 达到最小值8.
课时小结
（1）掌握重要不等式 a 2 b 2 2ab （2）掌握基本不等式
ab ab 2
作业

1，已知a>0,b>o求证： 1） 9
a
a
6,
2） a
b 2 b a
1 y x x2
2，当x>2时，求函数
的最小值
解 根据均值定理，得
ab 6 ab 3, 2 2
从而
ab 9.
6 等号成立当且仅当 a b 3, 2
此
时 ab 达到最大值9.
已知
求
a 0, b 0, 且 ab 16,
ab
的最小值.
解 根据均值定理，得
a b 2 ab 2 16 2 4 8,
2
A
a
O
C b
B
D'
例题：
求证：对于任意正实数
a ，有 1 a 2 a 等号成立当且仅当 a 1
证明 根据均值定理，对于任意正实数 a ，有
从ห้องสมุดไป่ตู้有
1 1 1 a a 2 a a 1 a 2. a
即 a 1.
1 等号成立当且仅当 a , a
拓展
已知 a 0, b 0 且 a b 6, 求 ab 的最大值.
证明：
a 2 b 2 2ab a 2 2ab b 2 (a b) 2 a, b R a b a b 0 (a b) 2 0 a 2 b 2 2ab a b a b 0 (a b) 2 0 a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2ab
均值定理
算术平均数与几何平均数
知识回顾

1、
a b 0 a b

2、
那么 a 2 b 2 2ab 如果 a, b R
新课导入
试用差值比较法证明： 如果
a, b R
那么
（当且仅当 a
b
a 2 b 2 2ab
时取“=” 号）
分析：此题可运用比较法的一般步骤进行 作差比较证明。
ab 注： （1）如果把 2 看作是正数 a, b 的等差中项 ab 看作是正数 a, b 的等比中项，
那么：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 （2）几何意义 a b 数学中，我们把 称作 a, b的算术平均数 2
ab 称作 a, b的几何平均数
那么：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数。
几何解释：
（如图）以 a b 为直径作圆，在直径 AB 上取一点 C ， 使得 AC a, CB b.
2 过 C 作弦垂直于 AB ，有 DD AB 则 CD CA CB ab
从而 CD ab ，
ab CD ab 而半径 OD 2
D
ab
即 a b ab
（当且仅当a=b时取“=”号）
要点拓展
ab ab 求证：若 a, b 都是正数，那么 2
（当且仅当a=b时取“=”号）
分析：证明依据 a, b R a 2 b 2 2ab
a, b R a
2
b 2
2
a b
a b 2 ab
（当且仅当a=b 时取“=”号）