二. Gauss变换与矩阵的三角分解
Gauss变换阵
1 1 Lj l j 1, j ln, j
T
1 1
对x x1 ,..., x j ,..., xn 0, xi , xj
xj 0
条件数 cond ( A) p || A1 || p || A || p ,
谱条件数
T ( A A) 1 1 max cond ( A)2 || A ||2 || A ||2 T min ( A A) n
A为非奇异的实对称矩阵时， | ( A) |max cond ( A)2 || A ||2 || A ||2 | ( A) |min
一. 基本概念
绝对误差,相对误差,有效数字,数值稳定性等.
1、设x和y的相对误差为0.001，则x*y的相对误差约为
____________.
(2) er ( xy ) er ( x ) er ( y )
1 y ((7u 5)u 3)u 18 (u ) x 1
1 10 99
三. Householder变换
Householder变换阵 H I 2ww , 其中 || w ||2 1
T
定理 : 设n维向量x , y , x y , 但 || x ||2 || y ||2 , u x y , u 则存在Householder 变换阵 H I 2ww , w , || u ||2
a b 1 p
p 1, 2, ,
习题 : 3 1. 已知矩阵A 2 1 (1) A的谱半径 ( A), 2 1 3 0 ，试计算 0 3 (2) A的谱条件数cond ( A) 2 ,
2 1 0 ( 3)( 2 6 4) 0 3
m i 0
内积( f ( x ), g ( x )) wi f ( xi ) g ( xi )
工程中常用的正交多项式 : (1) Legendre多项式 Pn ( x ) [1,1] P0 ( x ) 1,
( x) 1
1 P2 ( x ) (3 x 2 1) 2 1
(0)
)
ln B
收敛速度
R ln( ( B))为迭代格式的渐近收敛速度。
六. 构造正交多项式
在c[a , b]中构造正交多项式 : 由1, x , x ,..., x ,...)构造首1的正交多项式 n ( x )n 0
2 n
0 ( x ) 1 k 0,1, 2,... k 1 ( x ) ( x k 1 ) k ( x ) k k 1 ( x ) ( x k ( x ), k ( x )) k 1 k 0,1, 2,... ( k ( x ), k ( x )) ( k ( x ), k ( x )) 0 0, k k 1, 2,... ( k 1 ( x ), k 1 ( x ))
-7 3
2 -3 1 3
H (1)
-
1 17 1 2 (2) 2 1 4 , U (0, 1 17, 4)T , 3 3 3 17 17 1 17 17 2 3 3 9
H ( 2)
1 0 1 ( 2) ( 2) T 1 I U (U ) 0 2 17 4 0 17
不作考试要求部分:
1. 第三章—极小化方法
2. 第四章—Givens变换矩阵和Jacobi算法（只考察用
Householder变换对A作QR分解） 3. 第五章—利用三转角和三弯矩方程构造三次样条插值函数 4. 第六章—自适应求积法、理查逊外推法、龙贝格方法 5. 第七章—连续函数的最佳一致逼近（非线性最小二乘拟合 只考察可线性化的情况） 6. 第八章—非线性方程组的迭代法 7. 第九章—龙格-库塔方法和线性多步法 8. Matlab指令和程序编写
- 1 3 1 (1) (1) T 2 I U (U ) - 3 1 2 3
2 -3 2 3 1 3 2 -3 -3 - 8 3 ( 2) (1) (1) 1 -1 ， A H A 0 3 3 2 4 0 3 3
1 2 1 A 2 2 1 2 1 2
2
P1 ( x ) x ,
...
(2)Chebyshev多项式 Tn ( x ) T0 ( x ) 1, [1,1]
( x)
T1 ( x ) x ,
1 x T2 ( x ) 2 x 2 1
1
距离概念
向量空间的距离
（x , y ) || x y || p ( | xi yi | )
i 1
n
1 p p
p 1, 2, ,
矩阵空间的距离 ( A, B ) || A B || p
p 1, 2, , F
连续函数空间的距离 ( f ( x ), g ( x )) || f ( x ) g ( x ) || p ( | f ( x ) g ( x ) | p dx )
0 4 ， 17 1 17
7 -3 - 8 3 3 ( 3) ( 2) ( 2) 17 2 A H A 0 - 3 - 3 17 R 3 0 17 0 10 2 1 3 3 17 17 2 3 2 (1) (2) Q H H 3 3 17 17 1 2 2 3 17 17
地点：******* 时间：*******
2
数值分析复习要点
一. 基本概念
二. Gauss变换与矩阵的三角分解 三. Householder变换 四.矩阵的正交分解
五.解线性方程组Ax=b的直接法和迭代法
六. 构造正交多项式
七. 连续函数的最佳平方逼近
八. 离散数据的最小二乘曲线拟合 九. 函数插值 十. 数值积分 十一. 数值微分 十二.非线性方程的数值解法 十三. 常微分方程的数值解法 十四.数值计算的基本思想
0 1 0 0
10 0 10 5
2 0 5 14
四.矩阵的正交分解
(1) Schmidt正交化法（P40，第二章第2节）
(2) 用Housholder方法正交化（P142，第四章第4节）
例：用Householder方法ห้องสมุดไป่ตู้矩阵A的正交分解，
即A=QR，其中
解： 1 1 22 22 3, U (1) (4, 2, 2)T , 1 3(3 1) 12
数值分析考试事宜 一、考试事宜
1. 考试形式和成绩比例
闭卷考试，允许带无存储功能的计算器
平时作业和上机报告（30%）+期末成绩（70%）
考生必须携带学生证或校园卡
2. 考试题型
选择题、填空题、计算题、证明题
1
3. 考试时间和地点
2016-1-2（周一），上午10:00-12:00
4. 复习和答疑安排
b a
内积( f ( x ), g ( x )) ( x ) f ( x ) g ( x )dx
构造关于点集 x0 , x1 ,..., xm [a, b]和权wi 0( R), (i 0,1,..., m )的正交函数组 : 由1, x , x ,..., x ,...)构造首1的正交多项式 n ( x )n 0
3 、设 x 0.01458663 为真值 xT 0.01451845 的近 似，则 x 有
2
位有效数字。
设近似数x 0.a1a2 an 10 p的绝对 误差限是第n位的半个单位，则数x有 n位有效数字。(a1 0, ai 0,1, ..., 9)
数值计算中应注意的问题
五.解线性方程组Ax=b的直接法和迭代法
1、直接法 系数矩阵A为哪些矩阵时,可用顺序Gauss消元
法求解Ax=b.
系数矩阵A为哪些矩阵时,可用列主元Gauss 消元法求解Ax=b. 何为病态矩阵,如何判别矩阵为病态矩阵. 举例说明数学稳定性与数值稳定性的区别. （第三章第4节）
2、迭代法
迭代格式 x ( k 1) Bx ( k ) g
故取K 3 3, 于是y 3e3 Ke3 (0,0, 3,0)T ,
U x y (2,0,5,1) , 3 ( 3 x3 ) 3(3 2) 15
T
U TU
1 2
H I
1

UU T
11 0 1 15 10 2
2 n
0 ( x ) 1 k 0,1, 2,... k 1 ( x ) ( x k 1 ) k ( x ) kk 1 ( x ) ( xk ( x ), k ( x )) k 1 k 0,1, 2,... (k ( x ), k ( x )) (k ( x ), k ( x )) 0 0, k k 1, 2,... ( k 1 ( x ), k 1 ( x ))
T
构造Gauss变换阵G，使Gx x1 ,..., x j , 0,..., 0 解 : G L j , 其中li , j i j 1, j 2,...n
LU分解
习题 : 1.设x (2,1, 1, 3)T , 求一Gauss变换阵L, 使Lx (2, 0, 0, 0)T . 1 2 3 2.已知矩阵 A 2 6 2, 3 1 5 对矩阵A作三角分解, 即A LU .
T
使Hx y .
习题
已知向量x (2, 0, 2,1) , 试构造Householder阵H