初一几何——双角平分线模型1．在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，则∠A的度数为（）A．80度B．50度C．100度D．110度2．如图，△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40°B．20°C．25°D．30°第1题图第2题图第3题图第4题图3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE 于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018．如果∠A＝80°，则∠A2018的度数是（）A．80 B．802018 C．40 D．80×(12)20186．已知△ABC，下列说法正确的是（只填序号）．①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+12∠A；②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°−12∠A；③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12∠A．7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求∠BOC＝．第7题图第8题图第9题图8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝．9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝．10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，求∠H的度数．11．如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；（2）猜想：∠E与∠A有什么数量关系；（写出结论即可）（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．12．甲乙两同学对同一个图形进行研究，如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝．（说明：本题中角的大小均可用á表示）；（1）甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置，如图②，∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝，并请你帮他说明理由．（2）由（1）方法，甲同学猜想：如图③，当∠CBO=1n∠ABC，∠BCO=1n∠ACB，∠A＝α，∠BOC＝（3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形…，探究角平分线组成的∠O与多边形其他角的关系．如图④，在四边形ABCD中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，试探究∠O与∠A、∠D的数量关系，并说明理由．（4）仿照（3）的方法，如图⑤，在六边形ABCDEF中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，请直接写出∠O 与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系：．13．（1）如图1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；（2）如图2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；（3）如图3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ．试确定∠A 和∠F的数量关系；（4）如图4，已知△ABC，将外角∠CBP进行n等分，BF是临近BC边的等分线，将外角∠BCQ进行n等分，CF是临近BC边的等分线，试确定∠A和∠F的数量关系．14．（1）如图1，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB、若∠A＝46°，则∠BOC＝；若∠A＝n°，则∠BOC＝；（2）如图2，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，求∠BOC；（3）如图3，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD．若∠A＝n°，求∠BOC．初一几何——双角平分线模型参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，则∠A的度数为（）A．80度B．50度C．100度D．110度【解答】解：∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠1+∠2）＝100°，∵△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣100°＝80°．故选：A．2．如图，△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40°B．20°C．25°D．30°【解答】解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E＝∠ECD﹣∠EBD，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，∵∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝50°，∴12（∠ACD﹣∠ABC）＝25°，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝25°，故选：C．3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE 于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠1）＝90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【解答】解：延长AC 交BD 于点E ， 设∠ABP ＝α， ∵BP 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝2α，∴∠AED ＝∠ABE +∠A ＝2α+60°， ∴∠ACD ＝∠AED +∠D ＝2α+80°， ∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP =12∠ACD ＝α+40°， ∵∠AFP ＝∠ABP +∠A ＝α+60°， ∠AFP ＝∠P +∠ACP∴α+60°＝∠P +α+40°， ∴∠P ＝20°， 故选：B ．5．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；……；∠A 2017BC 与∠A 2017CD 的平分线相交于点A 2018，得∠A 2018．如果∠A ＝80°，则∠A 2018的度数是（ ）A ．80B ．802018C ．40D ．80×(12)2018【解答】解：∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1， ∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ， 由三角形的外角性质，∠ACD ＝∠A +∠ABC ， ∠A 1CD ＝∠A 1+∠A 1BC ，12（∠A +∠ABC ）＝∠A 1+∠A 1BC ＝∠A 1+12∠ABC ，整理得，∠A 1=12∠A =12×80°＝40°； 同理可得 ∠A n =(12)n ×80 故选：D ．二．填空题（共4小题）6．已知△ABC，下列说法正确的是①②③（只填序号）．①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+12∠A；②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°−12∠A；③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12∠A．【解答】解：①正确．∵P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，∴∠P＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A；②正确．∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP=12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC=12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC＝180°﹣∠BCP﹣∠PBC＝180°−12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]＝180°−12（∠A+180°）＝90°−12∠A．③正确．∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴12∠ACE=12∠ABC+12∠A，∴12∠ABC+12∠A＝∠PBC+∠P，∠P=12∠A；故答案为①②③．7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求∠BOC＝113°．【解答】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝46°，∴∠OBC+∠OCB=12（180°﹣46°）＝67°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣67°＝113°．故答案为：113°．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝18°．【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，∴∠EBC=12∠ABC＝20°，∠ECD=12∠ACD＝38°，∵∠ECD＝∠EBC+∠E，∴∠E＝38°﹣20°＝18°，故答案为18°．9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝52°．【解答】解：∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，∴∠ABF=12∠ABC，∠EAB=12∠DAB，∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝104°，∴∠F＝∠EAB﹣∠ABF=12（∠DAB﹣∠ABC）＝52°，故答案为：52°．三．解答题（共5小题）10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，求∠H的度数．【解答】解：∵CH、AD分别为∠ACB、∠CAF的平分线，∴∠CAD=12∠CAF＝∠H+12∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），又∵∠CAF＝∠B+∠ACB＝90°+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即12∠CAF−12∠ACB＝45°，∴∠H=12∠CAF−12∠ACB＝45°．11．如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；（2）猜想：∠E与∠A有什么数量关系；（写出结论即可）（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）根据外角的性质得∠ACD＝∠A+∠ABC＝60°+50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠1=12∠ACD＝55°，∠2=12∠ABC＝25°∵∠E+∠2＝∠1，∴∠E＝∠1﹣∠2＝30°；（2）猜想：∠E=12∠A；（3）∵BE、CE是两外角的平分线，∴∠2=12∠CBD，∠4=12∠BCF，而∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，∴∠2=12（∠A+∠ACB），∠4=12（∠A+∠ABC）．∵∠E+∠2+∠4＝180°，∴∠E+12（∠A+∠ACB）+12（∠A+∠ABC）＝180°，即∠E+12∠A+12（∠A+∠ACB+∠ABC）＝180°．∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠E+12∠A＝90°．12．甲乙两同学对同一个图形进行研究，如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝（90+α2）°．（说明：本题中角的大小均可用á表示）；（1）甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置，如图②，∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝120°+13∠α，并请你帮他说明理由．（2）由（1）方法，甲同学猜想：如图③，当∠CBO=1n∠ABC，∠BCO=1n∠ACB，∠A＝α，∠BOC＝(n−1)180°+∠αn（3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形…，探究角平分线组成的∠O与多边形其他角的关系．如图④，在四边形ABCD中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，试探究∠O与∠A、∠D的数量关系∠O=12（∠A+∠D），并说明理由．（4）仿照（3）的方法，如图⑤，在六边形ABCDEF中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，请直接写出∠O与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系：∠O=12（∠A+∠∠D+∠E+∠F）﹣180°．【解答】解：∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵OB、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝90°−α2，∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°+α2=（90+α2）°；故答案为：（90+α2）°；（1）根据∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝120°+13∠α；（2）根据∠CBO=1n∠ABC，∠BCO=1n∠ACB，∠A＝α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC=(n−1)180°+∠αn；（3）四边形边形ABCDEF的内角和为：（4﹣2）•180°＝360°，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，∴∠O＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°−12∠ABC−12∠BCD＝180°−12（∠ABC+∠BCD）＝180°−12（360°﹣∠A﹣∠D）=12（∠A+∠D）°，（4）六边形ABCDEF 的内角和为：（6﹣2）•180°＝720°，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠BCD ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠BCD ，∴∠O ＝180°﹣∠OBC ﹣∠OCD＝180°−12∠ABC −12∠BCD＝180°−12（∠ABC +∠BCD ）＝180°−12（720°﹣∠A ﹣∠B ﹣∠E ﹣∠F ）=12（∠A +∠B +∠E +∠F ）﹣180°，故答案为：12（∠A +∠B +∠E +∠F ）﹣180°． 13．（1）如图1，已知△ABC ，BF 平分外角∠CBP ，CF 平分外角∠BCQ ．试确定∠A 和∠F 的数量关系；（2）如图2，已知△ABC ，BF 和BD 三等分外角∠CBP ，CF 和CE 三等分外角∠BCQ ．试确定∠A 和∠F 的数量关系；（3）如图3，已知△ABC ，BF 、BD 和BM 四等分外角∠CBP ，CF 、CE 和CN 四等分外角∠BCQ ．试确定∠A 和∠F 的数量关系；（4）如图4，已知△ABC ，将外角∠CBP 进行n 等分，BF 是临近BC 边的等分线，将外角∠BCQ 进行n 等分，CF 是临近BC 边的等分线，试确定∠A 和∠F 的数量关系．【解答】解：（1）由已知得∠CBF =12∠CBP ，∠BCF =12∠BCQ ，∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，∴∠CBF+∠BCF=12(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=12(∠A+180°)∠F=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−12(∠A+180°)=90°−12∠A．（2）由已知得∠CBF=13∠CBP，∠BCF=13∠BCQ，∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，∴∠CBF+∠BCF=13(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=13(∠A+180°)∠F=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−13(∠A+180°)=120°−13∠A．（3）由已知得∠CBF=14∠CBP，∠BCF=14∠BCQ，∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，∴∠CBF+∠BCF=14(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=14(∠A+180°)∠F=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−14(∠A+180°)=135°−14∠A．（4）由已知得∠CBF=1n∠CBP，∠BCF=1n∠BCQ，∴∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，∴∠CBF+∠BCF=1n(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=1n(∠A+180°)∠F=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−1n(∠A+180°)=n−1n×180°−1n∠A．14．（1）如图1，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB、若∠A＝46°，则∠BOC＝113°；若∠A＝n°，则∠BOC＝90°+12 n°；（2）如图2，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，求∠BOC；（3）如图3，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD．若∠A＝n°，求∠BOC．【解答】解：（1）∵∠COB＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB∴∠BOC＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A＝113°，故∠BOC＝113°．∴若∠A＝n°，则∠BOC=90°+12 n°；（2）∵∠COB＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠EBC，∠OCB=12∠FCB∴∠BOC＝180°−12（∠EBC+∠FCB），而∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠FCB＝∠180°﹣∠ACB∴∠BOC＝180°−12（180°+∠A）＝90°−12∠A，∴∠BOC=90°−12 n°；（3）∵∠COB＝∠4﹣∠2，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD，∴∠ACD＝2∠4，∠ABC＝2∠2，∴∠A＝2∠COB，∴∠BOC=12n°．。