(b)质点的一般运动，需三个坐标描述。自由度=3。
(c) 对刚体：只要确定其三个点，即可确定其位置。 需9个变量。 但三个点的间距确定，实际上只需6个变量。
刚体最大自由度＝6。
•自由度
——完全描述运动所需的独立坐标数 （确定物体的空间位置）
一、刚体的运动形式
1.平动（translation）
在运动中，如果连接刚体 内任意两点的直线在任意时 刻的位置都彼此平行，则这 样的运动称为刚体的平动。
向
刚体绕 oz 轴，为了反映 刚体绕瞬时轴的方向及转
动量快 和慢角等加，速引度入矢角量速度 矢
d
dt
d
dt
定轴转动刚体上任意点的， 都相同。 z ω,α
P点线速度 v r
v
P点线加速度 an r 2
r •P θ
at
dv dt
r
当刚体作匀角加速转动时， 有运动学关系：
(
0 0
t )
t
1 2
t2
2
2 0
2 (
0)
刚体
r
参
O×
考
方
定轴
向
矢量形式 v r an 2 r
at r
或： at re
END
5.2 刚体的定轴转动
一、外力矩及对转轴的分量
设第 个质元受外力 ，假定
对O点的力矩：
垂直于转轴。
z
在定轴转动中，
y
x
不可能引起刚体运动。
因此可以丢弃！
只考虑 z 方向的分量：
式中
称为刚体对转轴 z 的转动惯量
(rotational inertia)
刚体
ri • O×’
Ri O×
定轴转动
三、 刚体定轴转动定律
z
由于刚体只能绕 z 轴转动,引起转动的
力矩只有 ，因此转动动力学方程
ω vi
ri • O×’
刚体
Ri
O×
定轴转动，可不写角标z，记作：
定轴转动
与牛II比较：
M
~
F
J ~ m
~ a
－刚体定轴转动定律
\ J 反映刚体转动的惯性
四、刚体定轴转动的角动量定理
由转动定律
在 t0 到 t 时间内：
——角动量定理
称为在t0到t时间内作用在刚体上的冲量矩。
当合外力矩
时，
——角动量守恒定律
即：

(i)
(ii)
即：
角动量守恒情况分如下几种：
J const.
(a) J, 都不变，所以 L J const.
[例5-3] “打击中心”问题 细杆：m, l ，轴O，在竖直位置静止.若在某 时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。
解：可通过转动定律求细杆的转动，再求 质心加速度。利用质心运动定理求支反力。
.O
l0 C .
.A
如图示，除力F外，系统还受重力、 轴的支反力等。但这两个力对轴的力矩＝0。 只有F对细杆的运动有影响，对转轴O的力矩为：
细杆遵从如下动力学方程：
质心运动定律分量式：
.O l0 C .
o′
·
o
o′
· ·o
平动时，刚体上所有 点运动都相同。
自由度：
可用质心或其上任何一点的运动来 代表整体的运动。
imax 3 (xc yc zc )
2.转动（rotation）
可分为两种基本形式：
▲定轴转动： 运动中各质元均做圆周运动， 且各圆心都在同一条固定的直 线（转轴）上。
如：门窗、电机转子etc .转动
Fi 对参考点 的力矩在z轴上的分量
z
就等于力 对 z 轴的垂足o’（转心）
的力矩（简称力 对转轴的力矩）
相对于 z 轴的合外力矩为：
y
x
即作用在各质元的外力矩的 z 分量之和.
二、 定轴转动刚体的角动量
i th 个质元对O点的角动量：
刚体＝
垂直于z轴。我们只对z方向的分量感兴趣： z ω,α
vi
i 1 ( )
（本章重点讨论定轴转动）
zω
v
r •P θ
刚体 O
×
r
参 考 方
向
定轴
▲定点转动：运动中刚体上只有 一点固定不动，整个刚体绕过该 固定点的某一瞬时轴线转动.
（如陀螺的运动等）
i3
（转轴方向（2），绕轴转 角（1））
3.平面平行运动
刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为 刚体的平面运动，又称为刚体的平面平行运动。 如：车轮直线滚动
(b) J, 都变化， 但是 L J const.
如：花样滑冰、芭蕾舞、体操、跳水 等运动中的动作。
(c) 刚体组角动量守恒！
若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动.
Li Jii const.
i
i
这时角动量可在刚体组内部传递。
RETURN
RETURN
[例5-1] 解： 研究对象：A、B、圆柱 mB
mB mBg
A: B: 圆柱：
mA
mA
mAg
附 加 方 程
[例5-2]
设A、B运动距离S后，细绳 伸展，求“碰撞”后C的速度。
mC
mB
解：研究对象：A、B、C、圆柱。
mA
mC
mB
mCg
mBg
利用质点动量定理和刚体角动量定理(设碰撞时间为t)：
A: mA
B:
mAg
C: 圆柱：
a为加速度 （上题求得）
第 5 章 刚体力学基础
5.1 刚体的运动及描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化的模型 ）。
刚体是特殊的质点系，其上各质元间的相对位置保持不变。 （或任意两点之间的距离始终保持不变）
•自由度
——完全描述运动所需的独立坐标数 （确定物体的空间位置）
如： (a)质点的直线运动，只需一个变数。自由度=1。
平动不同，转动也可以不
同，与基点的选取有关
o
o′
·
ΔΔ
o·
二、 刚体转动的运动学描述
z ω,α
定轴转动刚体上任意点都绕同
v
一轴在各自的平面内作圆周运动。
很显然：刚体各个部分在相同时间
r •P θ
内绕转轴转过的角度（角位移）都
相同。
刚体
r
参
引入角量描述将非常方便。
O×
考 方
如：角坐标（）、角位移（）等。 定轴
A: B:
C:
附
圆柱：
加 方
与“碰撞”时
程
细绳内的张力
相比，重力等
产生的冲量
（矩）可以忽
略！考虑到约
束条件后，上
述方程可简化
为：
四个方程相加得：
注意 （1）上述讨论关键是对“碰撞”过程中，与冲击力 相比可以忽略一些常规力！ （2）上述结果在J＝0时，好象与A、B、C三个物体 的动量守恒相似？但情况决不是如此！这是同 学常常出现的错误。 （3）如果忽略一些常规力，并考虑对转轴的角动量 守恒，也可以得到相同结果！
可以分解为： 刚体随质心的平动（2） 和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动（1）
i 21 3
4.一般运动
刚体不受任何限制的的任意运动, 称为刚体的一般运动。 它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加：
▲ 随基点O（可任选）的平动
▲ 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
i 33
如图示的两种运动分解：
o′
·
基点（O和O ´）选取不同，