3
m +1 2m +1
2 2m +
3
=
m +1 2m +1
当l
=
m
− 1时， cm−1
=
2m −1 2
m 2m +1
2 2m −1
=
m 2m +1
当 l 为其他时， cl = 0
∴ xPm (x)
=
m +1 2m + 1 Pm+1
+
m 2m + 1 Pm−1
2、将下列函数在 0 ≤ θ ≤ π ， 0 ≤ ϕ ≤ 2π 上展开为Ylm (θ ,ϕ )为基的广义傅里叶级数
5 3cos2 θ − 1 16π
Y2±2 (θ ,ϕ ) =
15 sin2 θe±2iϕ 32π
f
(θ
,ϕ )
=
3sin2 θ
cos2
ϕ
−1
=
3sin2 θ
⎜⎜⎝⎛
eiϕ
+ e−iϕ 2
⎟⎟⎠⎞2
−1
( ) = 3 sin2 θ e2iϕ + e−2iϕ + 2 − 1 4
= 3 sin2 θe2iϕ + 3 sin2 θe−2iϕ + 3 sin2 θ − 1
当 x 的幂低于 (2n − 2)时， (2n − 2)次求导，导致对应的项也为零
所以，不为零的项的幂次只有 (2n − 2)
即 4n − 2k = 2n − 2, k = n + 1
c2n
=
(4n +1) 22n (2n)!
(−
)1 n+1
(n
+
(2n)! 1)!(n −
1)!
(2n
−
2)!
=
(−
（1） 3 sin2 θ sin2 ϕ −1 （2） sin2 θ sin2 ϕ
（3） (1 + 3cosθ )sinθ sinϕ
( ) （4） 1 r2
x2 + 2z2 + 3xy + 4xz
，其中 r 2 = x2 + y2 + z2
公式：
Ylm (θ ,ϕ ) = (−1)m
(2l +
4π
1)(l (l +
（1） x3 （2） x （3） xPm (x)
（1）、方法一，利用公式直接计算
∞
∑ x3 = cl Pl (x) l =0
∫ 其中， cl
=
2l +1 2
( ) 1
−1
x
3
Pl
x dx
∫ c 0
=
1 2
1 x3dx = 1 x 4
−1
24
1 −1
=
0
，
∫ c 1
=
3 2
1 x3 xdx = 3 x5
展开以Ylm (θ ,ϕ )为基的广义傅立叶级数
⎧x = r sinθ cosϕ
⎪ ⎨
y
=
r
sin
θ
sin ϕ
⎪⎩ z = r cosθ
( ) ∴ 1 x2 + 2z 2 + 3xy + 4xz r2 = sin 2 θ cos2 ϕ + 2cos2 θ + 3sin 2 θ sinϕ cosϕ + 4sinθ cosθ cosϕ
4
4
2
( ) = 3 4
32π ⎡
15
⎢ ⎣
15 8π
sin2 θe2iϕ
⎤ ⎥ ⎦
+
3 4
32π ⎡
15
⎢ ⎣
15 8π
sin
2
θe−
2iϕ
⎤ ⎥
⎦
−
1 2
3cos2 θ
−1
=
6π 5
Y22
(θ
,ϕ
)
+
6π 5
Y2,−2
(θ
,ϕ
)
−
2
π 5
Y20
(θ
,ϕ
)
（2）、（3）略
( ) （4）、
1 r2
x2 + 2z 2 + 3xy + 4xz
4
4
2
4
4
+ 2sinθ cosθeiϕ + 2sinθ cosθe−iϕ
( ) = 1 sin 2 θe2iϕ + 1 sin 2 θe−2iϕ + 1 3cos2 θ −1 +1− 3i sin 2 θe2iϕ + 3i sin 2 θe−2iϕ
4
4
2
4
4
+ 2sinθ cosθeiϕ + 2sinθ cosθe−iϕ
x
P0
(x)dx
=
1 xdx = 1
0
2
∫ ∫ c2n
=
4n +1 2
1 −1
x P2n (x)dx
= (4n +1)
1 0
xP2n
(x
)dx
∫ ( ) =
(4n +1) 22n (2n)!
1
x
0
d 2n dx 2n
x 2 − 1 2n dx
( ) ∫ ( ) ( ( )) ( ( )) =
4n 22n
+1 x 2n !
d 2n−1 dx 2n−1
x2
−1
2n
1 0
−
4n +1 22n 2n !
d 1 2n−1 0 dx 2n−1
x 2 − 1 2n dx
( ) ( ) = − 4n + 1 d 2n−2
( ) 22n 2n ! dx 2n−2
x2
−1
2n
1 0
∑ ( ) =
(4n + 1) d 2n−2 ( ) 22n 2n ! dx 2n−2
Y2−2
−
3i
2π 15
Y22
3、
+ 3i
2π 15
Y2−2
−
4
2π 15
Y21
+
4
2π 15 Y2−1
=2
π Y00 + 2
π 5 Y20
+
2π 15
(1 −
3i)Y22
+
2π 15
(1 −
)3i Y2−2
−
4
2π 15
Y21
+
4
2π 15 Y2−1
3、利用勒让德多项式递推公式计算定积分： （1）、
∂2u ∂ϕ 2
+
k 2u
=
0
分解成三个独立的常微分方程。 4、利用分离变量法将柱坐标系下亥姆赫兹方程
1 ρ
∂ ∂ρ
⎜⎜⎝⎛ ρ
∂u ∂ρ
⎟⎟⎠⎞ +
1 ρ2
∂2u ∂ϕ 2
+
∂2u ∂z 2
+
k 2u
=
0
分解成三个独立的常微分方程。
二、勒让德函数的性质及其应用
1、在 − 1 ≤ x ≤ 1 上，将下列函数展开为 Pl (x)(l = 0,1,2,L)的广义傅里叶级数
)1 n+1
(4n + 22n (n
1)(2n − 2)! +1)!(n −1)!
∑ ∴
x
=
1 2
P0 (x) +
∞
(− )1 n+1
n=0
(4n + 22n (n
1)(2n − 2)! + 1)!(n −1)!
P2n
(x
)
∞
（3） xPm (x) = ∑ cl Pl (x) l=0
∫ cl
=
2l + 1 2
d 1
l−2
−1 x dx l−2
x 2 − 1 l dx
∫ ( ) ( ) = 3 2l +1 2l l!
1
xd
−1
d l−3 dx l−3
x2 −1 l
( ) ∫ ( ) ( ) ( ) =
3 2l + 1 2l l!
d l−3 x dx l−3
x2
−1 l
1 −1
−3
2l + 1 2l l!
d 1 l−3 −1 dx l−3
∞
∑ （2） x = cl Pl (x) l =0
∫ cl
=
2l + 1 2
1 −1
x Pl (x)dx
Q x 为偶函数，当 l = 2n + 1 时， P2n+1 为奇数
∴ c2n+1 = 0
当 l = 2n 时
∫ c2n
=
4n +1 2
1 −1
x P2n (x)dx
∫ ∫ c0
=1 2
1 −1
x 2 − 1 l dx
( ) ( ) = − 3 2l +1 2l l!
d l−4 dx l−4
x2
−1 l
1 −1
当 l ≥ 4 时， cl = 0
∴ x3
=
3 5
P1(x) +
2 5
P3 (x)
方法二、待定系数法
由于勒让德多项式 Pl (x)最高次幂为 l 次幂，而待展开函数 x3 最高次幂为 3 次，因此，
⎧ ⎪ ⎪
Y00(θ ,ϕ ) =
1 4π
Q
⎪ ⎨