电磁学静电学1、 静电场的性质静电场是一个保守场，也是一个有源场。

F dl o ⋅=⎰ 高斯定理静电力环路积分等于零iosqE ds E ⋅=∑⎰⎰i v q dv ρ⎛⎫→ ⎪⎝⎭∑⎰⎰⎰电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系bab aqE d r ww ⋅=-∑ab E dr UU ⋅=-∑ ①过程 E dr dU ⋅=-一维情况下 x dU E dx dx =- x dUE dx=- ②2、 几个对称性的电场（1） 球对称的电场33342o 143o R r R E r E r πρρπ⎛⎫= ⎪⎝⎭例:一半径为1R 的球体均匀带电,体电荷密度为ρ,球内有一半径为2R 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a ,如图 (1) 求空腔中心处的电场E (2) 求空腔中心处的电势U解:(1)在空腔中任选一点p ,p E 可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之差, 即 ()1212333p oooE r r r r E E E ρρρ=-=-令12a o o =3p oE a E ρ=这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o oE a E ρ=(2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差即 ()()()222222212123303666o ooo U R a R R R a E E E ρρρ⎡⎤=---=--⎣⎦假设上面球面上,有两个无限小面原i j s s ,计算i s ,受到除了i s 上电荷之处,球面上其它电荷对i s 的静电力,这个静电力包含了j s 上电荷对i s 上电荷的作用力.同样j s 受到除了i s 上电荷以外,球面上其它电荷对j s 上电荷的作用力,这个力同样包含了i s 对j s 的作用力. 如果把这里的ij s s 所受力相加,则,i j s s 之间的相互作用力相抵消。

出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。

求法:222222=f 224o o o R Q F R R E E R σππππ⎛⎫=⋅==⎪⎝⎭再观察下,均匀带电球面上的电场强度=?通常谈论的表面上电场强度是指什么?例:求均匀带电球面(),Q R ,单位面积受到的静电力?o f = 解:令()R R RR R →+≤过程无限缓慢得出此过程中静电力做功的表达式:()222224222424o o o o Q Q Q Q f R R C C R R R ππεπε⋅⋅=-=-⨯⨯+ 221111818R o o R Q Q R E R E R R ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 228o Q R E R π= 22214422o o oQ Q f R R E σππε=⋅⋅=或者算出2o of E E E σσ=⋅=表面表面而且可以推广到一般的面电荷()σ 在此面上电场强度 ()1212E E E =+表面 例:一个半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力? 解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难.例:求半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度.解:静电场(真空)能量密度 212o E E ω= 本题球面外侧: 214o QE E R π=22211242o o o oQ E f E R E σωπ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为r E 的多向同性均匀电合质,22122r o o r oE E E f E E σω===下面求张力:它等于右半球表面所收到的静电力之和()()22sin cos 2T F R Rd E πσθσθπθθθ=⋅⋅⋅∑()22223cos sin cos 2o o E R d ππεθθθε=⋅∑ 22239cos cos ooE Rd πεπθθ=∑2294o o E R επ=前面求出过本小题:,3d E ρε=本题:导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布,令为 cos o σσθ= 由于要求导体内0E =,0o E E E =+=,33oo o od E E σρεε=== 3o o o E σε⇒= 3cos o o E σεθ=例:一个半径为R,原不带电的导体球放置于匀强电场o E 中,求由于静电感应所产生的感应电荷,所带来的两半球之间新增的张力.解:预备知识:⑴一个半径为R 的均匀各向同性介质在匀强电场中受到极化,求极化电荷的分布.解:o θ=时,o d σρ=cos cos o d σρθσθ==⑵求极化介质球,由于极化电荷所产生的介质球内的电场强度,E例:带电圈环:,R q (均匀带电)求图中带电圈环与带电半直线之间的相互作用力.解:这题取下面方法:先求均匀带电半直线产生的电场强度,对均匀带电圈处的电荷的作用力上图中圈环上的点离半直线两端点的距离为R,环上P 点处的电场强度,可以用辅助14圈弧(λ)在P 点产生的场强大小.214o E R λπε=圈环受到合力在,o q λ均为正值时，方向向左，大小为1cos 4524o o o qF qE q Rλπε===在达到静电平衡的整个空间中，如果有一个处于静电平衡的带电面，在计算此面上某处受到的静电力，无需用整个空间中的各带电体，面，线，点，计算对其作用之和，只需先求出此面上该处的电场强度，该表面受到的静电力。

()1212E E E =+表面 其原因是，这样的计算，已经考虑了全空间电荷的作用，不必重复考虑。

例：一个半径为R ，带电量为Q 的均匀带点表面，求因表面带电所增加的表面张力系数。

解：法一：球面上取一个小面元，半径 为r ，此面受两个力平衡： 静电力，沿径向向处，大小为 2202o o f rf σπε⎛⎫= ⎪⎝⎭此面元边界上新增表面张力的合力，径向向里，设新增表面张力系数为α 大小为122sin2r r r r Rπαϕπαϕπα== 力平衡方程：222o r df r Rππ=211222o of R R σαε==柱对称电场3、带电荷粒子在电场中的运动例1：一个带点粒子从一开始就在垂直于均匀带电的长直导线平面内运动，它从这导线旁飞过，最后与开始入射方向偏转小角度α，如图，如果当粒子飞入带电直线电场中时，它的动能为k E ，电量为e ，导线单位长度带电量为λ，离导线距离γ处电场强度设为rE 02πελ=，求α=？解：本题情况，一般入射粒子速度比较大，由于速度快，所以带电直线受到的横向冲量就比较小（时间短），这样产生的α角度就会如题中告知是一个小量，利用微元法处理，当带电粒子到达位置ψ时相距位矢量为r ，此刻带电粒子受力大小r e eE F 02πελ==，ψπελψcos 2cos 0re F F y == 此刻y 方向动力方程为dtdv m r e y =ψπελcos 20其中dt 可以利用x 方向动力学方程表达xv dxdt =其中dx 与d Ψ满足关系（如图所示几何关系）ψψψψcos cos x v rd dt rd dx =⇒=⋅ψψψπεcos cos 20xy v rd dv m r ey=⇒化简整理∑∑-=2202ππψπεyv y xdv d mv eyy xv mv e =ππελ02利用y x x x v v e mv E =⇒=2421ελ 04ελαe v v tg x y ==例2：如图所示一很细、很长圆柱形的电子术由速度为V 的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n 个电子，每个电子的电荷量-e （e>0）,质量为m ，该电子束从远处沿垂直于平行板电容极板方向射向电容器，其前端（右端）于t=0时刻刚好达到电容器左极板，电容器两极板上多开一个小孔使电子可以不受阻碍地穿过电容器两极板AB,加有如图所示的变化电压AB V ，电压的最大最小值分别为00,v v -+，周期为T ，若以τ表示每个周期中电压处于最大的时间间隔，则)(τ-T 是周期中电压处于最小的时间间隔，已知τ的值正好使在AB V 变化的第一个周期内通过电容器达电容器右边的所有电子，能够在某一个时刻b t 形成均匀分布的一段电子束。

设两级间距很小，，电子穿越时间，且026eV mV =,不计电子间相互作用（1） 满足题给条件的τ，0t 的值分别为？（2） 试在下图中画出t=2T 那一刻，在0——2T 时间内通过电容器的电子在电容器的右侧空间形成电流I,随离开右极板距离x 的变化曲线，并在图上标出图线特征点的横、纵坐标。

取X 正方向为电流正方向，图中x=0处为右极板B 的小孔位置，横坐标单位mev TS 0= 解：（1）第一个周期内通过的所有电子在通过前是一段速度为V 的均匀电子束（孔的左侧）。

通过小孔以后，分成两段速度不同的电子束。

0——τ时间内，所加电压为0V +，通过小孔后速度由V 减小，设为V1，满足关系02122121eV mV mV += τ——T 时间内，所加电压为0V -，通过小孔后速度由V 增大，设为V2，满足关系式，02221212eV mV mV -=再由题中告知：τ的值正好在AB V 的变化的第一个周期内通过电容器达右边的所有电子，能够在b t 时刻形成均匀分布的一段电子束V此话要求①在t=b t 时刻，达到小孔右侧的这两束电子束在前端应该在某处相重 ②达到小孔右侧的两电子束的长度相等 由此可写方程⎩⎨⎧-=⋅-=2121)()(V t V t V T V b b τττ 得到212V V T V +=τmeV meV V V 022142=-=meV meV V V 022142=-=meV V 026=所以m eV V 012=，meV V 0222= )(122V V t V B -=τT V V V t b 2122=-=τ（3） 由于T t b 2=，观察的就是这个时刻右侧空间的电流分布，应该确定两件事情：① 电流在空间位置的分布② 电流强度的大小分布电子束长度4、静电势能、电势例1：如图所示N 对e 、-e 离子，等间距a ，沿直线排列 （1） 设∞→N ,试确定某个e 的电势能+W 和-e 的电势能-W （2） N 足够大时，+W -W 近似取小题（1）的结论，求系统的电势能W（3） N 足够大时，将非边缘的一对离子e 、-e 一起缓慢地移到无限远，其余离子仍在原位，试求外力做的功A.提示 (3)2)1ln(32-+-=+x x x x...312112ln -+-= 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-++-=+...34442000a ea e a e U πεπεπε ...)31211(20-+--=a e πε 2ln 202ae eU W πε-==+++--=U U2ln 202ae eU W πε-=-=--（2）足够大的N,2ln 2)(2102ae NW NW W πε-=+=+-（4） 将一个正离子缓慢移到无限远处，余下系统电势能+-W W此时该正离子的空位相邻的一个负离子的所具有的电势能为ae W W 024'πε-==--s meV T V b 42201=⋅=⋅τs meV T V )22(22)22(01-=⋅-=⋅τ再将该负离子移到无限远处，余下系统的电势能'1-+--=W W W W无限远处负离子移到正离子旁边，这一对正负离子的电势能ae W 0224πε-=利用动能关系，求出外力做功[{)12ln 2(244]}')()(02020221-=-+-+--=---=-+=-+-+aea e a e W W W W W W W W W A πεπεπε例2 如图两个点电荷位于X 轴上，在他们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则X 轴上多点的电势如图曲线所示，当0→x 时，电势∞→U ;当∞→x ，电势0→U ，电势为零的坐标为0x ;电势极小值为0U -的点的坐标为0x α（α>0）,试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电的符号，电量的大小以及在X 轴的位置。