4. 光学各向异性
• 光学各向异性是电磁波通过介电各向异 性材料解麦克斯韦尔方程的结果. • 对于向列型液晶, 结论为折射率椭球. 以 后还要介绍. • 对于胆甾型液晶, 有三种效应: 光波导效应、布拉格效应、旋光效应
• 折射率椭球：
n//
n
//
n
n

n
x n
2 2

y n
2 2

z n
3
写出非零的项：
1
C 0 P0 ( x )
1
j ( x ) dx
1 2
1
1
C 2 P2 ( x )
1
1
j ( x )( 3 x 1) dx
2
4 2
C 4 P4 ( x )
8 1
j ( x )( 35 x 30 x 3 )dx
将
f (q ) j (cos q )
于是：
11 33 //
液晶的介电各向异性常表示为： // 其中//和分别表示平行于和垂直于指向矢。
若液晶的 // 0
该种液晶为正性液晶, 以Np 表示;
反之, 则为负性液晶, 以Nn表示。 Np液晶在电场下的性质:
2 另一方面，若液晶相分子高度一致取向时，平均势将变得很大，分子混乱 时取向时，平均势将很小，分子完全混乱时，平均势为零，所以平均势V 中还必须包括有序参数S这一因子，S=<P2(cosθ)>。还有，取向势函数的 大小与材料有关，不同的材料与有不同的势函数，势函数中必须包含一个 随材料的不同而异的比例因子υ。把上述三方面的因素相乘，就人为地构 造了其它分子对某一分子产生的平均势——取向势函数V：
V (cos q ) vP2 (cos) P2 (cos)
V1 (cos q ) V 2 P2 (cos q ) P2 (cos q ) V 4 P4 (cos q ) P4 (cos q ) V 6 P6 (cos q ) P6 (cos q )
3. 液晶的介电各向异性
以如下张量表示:
11 ˆ 21 31
12 22 32
23
33
13
ˆ 当向列型液晶指向矢 n 与z轴平行时有：
11 ˆ 0 0 0
11
0
0 0 33
2
1 3
( 2 S 1)
sin (q )
2
2 3
(1 S )
取向有序度的测量
液晶化合物一般没有颜色，在可见光范围内是透明的，低于可见光波 长范围或高于这个范围时液晶将吸收部分光波。分子吸收光能力的强弱与光 的电矢量振动方向对分子指向矢的张角有关。绝大多数情况下，当光振动方 向与分子的长轴方向一致时，分子对光波有最强的吸收。定义光学密度d为 入射光与出射光强度之比取对数：
0 . 2219 Tc x T
即： x
kT v
0 . 22019
T Tc
例： E7的清亮点为60度（273+60=333K），求在20度的有序度。
x 0 . 22019
293 333
0 . 1937
查表并插值得： <P2>=0.64
双折射率与有序度的关系近似为：
n
P2
P 2 n
1
V (cos q ) vP2 (cos) P2 (cos)
另外，由第二节的讨论知，有序度可以用<P2(cosθ)>表 达：

P2 (cos q )

0
f (q ) P2 (cos q ) sin q d q
于是，
P2 (cos q ) d cos q P2 (cos q ) exp vP2 (cos q ) kT 1
f (q )
代入得：

n
2n 1 2
Pn (cos q ) Pn (cos q )
其中：

Pn (cos q )

0
f (q ) Pn (cos q ) sin q d q
而且：
P0 ( x ) 1
P2 ( x ) S
任何函数都可以用勒让德多项式展开，比如势函数：
Pn ( x )
1
j ( x)P
n
写出前五阶勒让德函数：
P0 ( x ) 1
P1 ( x ) x
P2 ( x ) P3 ( x ) P4 ( x ) 1 2 1 2 1 8 ( 35 x 30 x 3 )
4 2
( 3 x 1)
2
(5 x 3 x )
2
3 cos q 1
2
1 2


0
f (q )[ 3 cos q 1] sin q d q
2
( 3 cos q 1)
• 理论上，0 < S < 1。实际上， 0.4 < S < 0.9, 且：
S 1 2 ( 3 cos q 1)
2
于是：
cos (q )
1
P2 (cos q )
P2 (cos q ) d cos q exp vP2 (cos q ) kT 1
1
考虑到<P2(cosθ)>是cosθ的偶函数，上式的积分区间改 为从0到1：
1
P2 (cos q

0
P2 (cos q ) P2 (cos q ) exp vP2 (cos q ) d cos q kT P2 (cos q ) d cos q exp vP2 (cos q ) kT 0
第一章 液晶的理化性质
第二讲 液晶的物理性质
1、 液晶的特点 有两个特点： • 分子是细长的 • 分子是刚性的
X
A
Y
末端基的X和Y，有烷基（-R）、烷氧基（-OR）、烷 基酯（-O-CO-R），羧基（-CO）、氰（-CN）或硝基（NO ）等取代基。R大部分是直线状链，其链长往往影响 液晶的相变温度 。
d lg
I0 I
S
d // d d // 2 d

N 1 N 2
其中N= d∥/d┷ 。测量光密度和d∥的d┷方法是，投射一束光强为I0的 偏振光，光的波长应高于或低于可见光波长，最好为使液晶分子的长轴方 向发生明显的吸收，而垂直于长轴方向不发生明显吸收的波长。让光震动 方向平行于取向矢，测出I0和I，进而得知d∥；把光矢转过900角，同样测出 d┷，代入公式即可得到有序度。改变温度可获得有序参数随温度变化的曲 线。
有序度随温度变化的典型曲线:
有序度的物理含义：
任意函数j(x)都可以按正交函数族展开：
j ( x)


1
n 1
2n 1 C n Pn ( x ) 2
这里，Pn(x)为勒让德多项式族。其中：
Cn
1
j ( x)P
1
n
( x ) dx
也可以写成
C n Pn ( x )
或：
( x ) dx
P2 (cos q )
1
(3 cos q
1)
按经典的统计理论，分子指向分布函数与分子的势能有如下 关系：
V (cos q ) f (q ) exp z kT 1
其中：
k为玻尔兹曼常数 ，T为绝对温度。
z
V (cos q ) exp d cos q kT 1
2 2 //
1
5、液晶的相变与宏观对称性
具有向列相和各类近晶相的材料，从固体开始随 温度升高各相出现的顺序是： 固相→近晶相B→近晶相C→近晶相A→向列相→ 各向同性液体 某些材料可能在上述的液晶相中不具备某些相， 只需在上面的顺序中把不具有的相划去就是该材料随 温度升高各相出现的顺序。
6. 液晶的有序度
X
A
Y
作为连结苯环或联苯环的A，多数是甲亚胺（CH=N-）、偶氮（-N=N-）、氧化偶氮或脂。这些功能团 都有双键，因而与两侧的苯环形成某种程度的共轭，提 高了整个分子的刚性。 现代广泛应用的联苯和三联苯液 晶是将中间桥键去掉的结构。
X Y
X
Y
2、液晶的宏观对称性
A. 向列型液晶
n
指向矢的概念。


f (q ) cos q d

0 0
f (q ) cos q sin q d q d

2

0
f (q ) cos q sin q d q cos q ＝ 0
注意到：


0
f (q ) cos
2
q sin q d q 0
由于：


0
f (q ) cos
在一定的温度下，指向角q是随机变化的。其分布函 数f(q)以下图表示。 f(q)
0.8
温 度 0.6 升 高
0.4
z, n
q q
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
若仿照铁磁材料对有序度地定义：
S
f



f 但因为对于向列型液晶，由于指向矢没有极性，则：
2
B. 胆甾型液晶（手征型液晶）
2 n x cos p z 0 2 ˆ n n y sin p z 0 nz 0
p
C. 近晶型液晶 近晶A