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材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法
图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原 外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外
力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按
图d和图e所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求qBq， q BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的q B和wD。
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第十六讲：弯曲位移的叠加法
例题 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC
和两支座截面的转角qA 及 qB。
(a)
解：此梁 wC 及qA，qB 实际上可不按叠加原理而直接 利用本教材附录Ⅳ表中序号13情况下的公式得出。这里是
作为灵活运用叠加原理的例子，假设这个公式怎么求解。
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变化（简支、悬臂），只进行荷载变化，再
叠加；二是把外伸梁化为简支+悬臂，再叠加。 三峡大学 工程力学系
本讲小结
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第十六讲：弯曲位移的叠加法
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，
但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是 上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|· a应叠加到图b 所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA：
wA w1 w2 1 qa3 2q a 4 3 EI a 8 EI 7 qa4 12 EI
材料力学教案 上一讲我们学到
第十六讲：弯曲位移的叠加法
梁的弯曲变形可以用挠度和转角来描述；由于每个 点处的变形不同，因此可以通过积分法求出挠度和转角
方程，来描述整个梁的位移情况，从而可以进一步分析
哪里最大，最大的当然最危险。 积分法的优点在于计算流程化，缺点是计算量大； 有时我们可以通过经验判断出哪个点变形最大，因此可 只求该点的变形。这就是我们本节要讲的叠加法。
q / 2l 3 q A1
24EI 24EI
ql3 48EI ql3 48EI

q / 2l 3 q B1
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第十六讲：弯曲位移的叠加法
在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨
C
中截面反对称的，故有
wC 2 0
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第十六讲：弯曲位移的叠加法
叠加原理
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁 的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。（可验证）
在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁
的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单 独作用下该截面的挠度和转角的代数和。 利用附录IV中，1、2、4、6、7、8、10简单结构和荷载时的 挠度和转角，计算复杂结构和荷载作用下的挠度和转角。 三峡大学 工程力学系
注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该 截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨
梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作
用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录Ⅳ表中序号8情况 下的公式有
3 q / 2l / 2 q A2 q B 2
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第十六讲：弯曲位移的叠加法
对于外伸梁，就需要先从结构上把它转化为悬臂梁和 简支梁，然后再分别利用附录IV的结论，按照前述的
方法计算挠度和转角。
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第十六讲：弯曲位移的叠加法 第十六讲小结
（1）叠加法计算挠度和变形。
（ 2 ） 叠加法着重关注重点部位 的变形，计算量比积分法小。 （3）叠加法分两种题十六讲：弯曲位移的叠加法
解：为利用本教材附录Ⅳ中简支梁和悬臂梁的挠度和
转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁
(图c)连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力 1 和弯矩 FS B 2qa M B 2q a 2 qa 2 应当作为外力和 2 外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也 应与 FSB 和M B 的正负相对应，如图b及图c中所示。
24EI
ql3 384EI

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按叠加原理得
wC wC1 wC 2
第十六讲：弯曲位移的叠加法
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
ql3 ql3 3ql3 q A q A1 q A2 48EI 384EI 128EI ql3 ql3 7ql3 q B q B1 q B 2 48EI 384EI 384EI
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第十六讲：弯曲位移的叠加法
作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面 C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。
(a)
(b)
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C
第十六讲：弯曲位移的叠加法
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材 附录Ⅳ表中序号8的公式有
5q / 2l 4 5ql 4 wC1 384EI 768EI

对于悬臂梁和简支梁，在结构上不需改动，可直接利用 附录IV的结论，把各种荷载对应的挠度和转角相加即可。 这时需要特别注意下挠度的方向，转角的转向。 三峡大学 工程力学系
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第十六讲：弯曲位移的叠加法
例题 试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角
qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。
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第十六讲：弯曲位移的叠加法
q B q Bq q BM
q2a qa2 2a 1 qa3 24EI 3EI 3 EI
3 4 2

wD wDq wDM
5 q2a qa2 2a 1 qa4 () 384 EI 16EI 24 EI