三次样条插值
插值函数S(x)： （1）S(x)在字区间[xi,xi+1]的表达式Si(x)都是次数不高 于3的多项式； （2） Si(x)=yi； （3） S(x)在整个区间[a,b]上有连续的二阶导数。
hk xk 1 xk
yk 1 yk hk S ( x) yk 1 [ (2mk 1 mk )](x xk 1 ) hk 6
[fnodes,minnq,rnw,rnq,ifail]=e01sef(x,y,z) [cz(i,j),ifail]=e01sff(x,y,z,rnw,fnodes,cx(I),cy(j))
数据拟合
已知平面上n个点，寻求函数f(x)在某种准则下与数据点 最为接近，即曲线拟合得好。
‘nearest’-----最近邻点插值；
‘linear’-------线性插值；-----缺省 ‘spline’-------三次样条插值； ‘cubic’--------三次插值。
散乱数据插iddata(x,y,z,cx,cy,’method’)
返回在网格（cx,cy）处的函数值，注意此处cx行向 量，cy列向量。 （2）插值函数e01sef和e01sff 基于Shephard插值法，两个函数必须同时使用。
mk S ( xk ) mk 1 mk mk 1 2 hk ( x xk 1 ) ( x xk 1 )3 k 2 6hk 1 hk 1 hk y y y yk 1 6 k ( k 1 k k ) n+1个未知量，n-1个方程组 hk 1 hk hk hk 1
二维插值
通过全部已知节点f(xi,yi)=zij(i=0,1,2, …m;j=1,1,2, …n)， 构造一二元函数z=f(x,y)，然后再利用f(x,y)插值，即 z*= f(x*,y *)；分为网格节点插值和散乱节点插值两种。
网格节点插值
(xi,yi+1) (xi+1,yi+1) (xi,yi+1) f4 (xi+1,yi+1) f3
yi 1 y j xi 1 xi ( x xi ) y j
第二片上三角形区域（x,y）满足： y 插值函数为： 双线性插值
f ( x, y) f1 ( f 4 f1 )( y y j ) ( f3 f 4 )(x xi )
双线性插值函数：
f ( x, y) Axy Bx Cy D (ax b)(cx d )
x [ xi 1 , xi ] x [ xi , xi 1 ] 其它
h2M 2 r ( x) f ( x) L( x) 8
余 项
h max xi xi 1
1i n
M 2 max f ( xi )
1i n
缺点：分段线性插值函数在结点的已接到数一般不存在， 查值曲线不够光滑。
(1 k )mk 1 2mk k mk 1 k k 1,2, n 1
边界条件
m边值条件 M边值条件
周期边值条件
S ( x0 ) y0，S ( xn ) yn
m0 , mn 已知，特别 m0 mn 0 称为自然边界
当y=f(x)为周期为b-a为周期的周期函数，要 求S(x)也是周期函数，端点满足： S ( x0 ) S ( xn ), m0 mn
f1 (xi,yi) (xi+1,yi) (xi,yi) (xi+1,yi)
f2
最临近点插值
分片线性插值
第一片下三角形区域（x,y）满足： y 插值函数为：
yi 1 y j xi 1 xi
( x xi ) y j
f ( x, y) f1 ( f 2 f1 )(x xi ) ( f3 f 2 )( y yi )
一位插值Matlab求解
Matlab一维插值函数interp1
interp1(x,y,cx,’method’)
x,y-----结点数据坐标（x必须单调）；
cx-----需要插值的横坐标数组，cx不能超出x的范围；
Method-----提供四种方法： ‘nearest’-----最近邻点插值； ‘linear’-------线性插值； ‘spline’-------三次样条插值； ‘cubic’--------三次插值。
rk ( x xk ) 2 ( y yk ) 2
Wk ( x, y )
1 2 rk
1 / r
k 1
N
2
k
二维插值Matlab求解
网格节点插值
cz=interp2(x,y,z,cx,cy,’method’)
x,y,z-----结点数据坐标（x,y必须单调）； x---m×1,y--- 1 × n,z---m×n cx,cy-----需要插值的横、纵坐标数组，cx,cy不能超出x,y的范围； Method-----提供四种方法：
利用矩形四届点的函数值，得到四个代数方程，正 好确定四个参数。
散乱数据插值 给定一组节点， f ( xk , yk ) zk (k 0,1,2,, N ) 反距离加权平方法 ---Shepard法 函数值由已知数据按与该点距离的 远近作加权平均决定。
二元函数：
zk N f ( x, y ) W ( x, y ) z k k k 1 rk 0 other
分段线性插值
（1）L(x)用分段函数表示，且L(xi)=f(x)=yi，且在[a,b]连续； （2）L(x)在第 i 段表达式：
L( x ) x xi x xi 1 yi 1 yi , xi 1 x xi xi 1 xi xi xi 1
基 函 数 构 造
x xi x x i 1 i x xi 1 li ( x) xi xi 1 0