导数压轴题精选三、解答题： 10．已知函数21()22f x x x =-、()log a g x x =（0a >，且1a ≠），其中a 为常数． 如果函数()()()h x f x g x =+是(0,)+∞上的增函数，且函数()h x '存在零点 （函数()h x '为函数()h x 的导函数）． ⑴求实数a 的值；⑵设11(,)A x y 、2212(,)()B x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，又21021()y y g x x x -'=-（()g x '为()g x 的导函数），证明：102x x x <<．10．已知函数()2ln bf x ax x x=--，且(1)0f =． ⑴若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围； ⑵若函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为0，且211()11n n a f n a n +'=-+-+，又已知14a =，求证：22n a n ≥+； ⑶在⑵的条件下，试比较12111111n a a a ++++++与25的大小， 并说明你的理由．10．定义：对于函数()()f x x M R ∈⊆，若()()f x f x '<对于定义域M 内的任意x恒成立，则称函数()f x 为M 上的ϕ函数．⑴判断函数()ln xf x e x =是否为其定义域上的ϕ函数，并证明你的结论；⑵若函数()F x 为R 上的ϕ函数，试比较()F a 与(0)()ae F a R ∈的大小；⑶若函数()F x 为R 上的ϕ函数，求证：对于定义域内的任意正数1x 、2x 、、n x ，均有1212[ln()](ln )(ln )(ln )n n F x x x F x F x F x +++>+++成立．10．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数2()(,)x a f x b c N bx c *+=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2f -<-．⑴试求函数()f x 的单调区间；⑵已知各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a ⋅=，求证：1111ln n nn a n a ++-<<-；⑶设1n nb a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<．10．设函数()ln f x x =．⑴若(0,1)α∈，求函数()()(1)(1)g x f x f x αα=+--的最大值；⑵已知正数α、β满足1αβ+=，求证：1212()()()f x f x f x x αβαβ+≤+； ⑶已知0i x >，正数i a 满足11nii a==∑，证明：11ln ln nni i i i i i a x a x ==≤∑∑（其中1i =、2、、n ）．10．⑴已知正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，求证：333log log log 1a a b b c c ++≥-；⑵已知1231n a a a +++=，其中0(1,2,,3)n i a i >=，求证：131232333log log log n n a a a a a a n +++≥-．10．已知函数1()2()()p p p p f x x a x a -=+-+（0x ≥、0a >、1p >）．⑴求函数()f x 的最小值；⑵证明不等式：()22p p p a b a b ++≤，其中0a >、0b >、1p >； ⑶证明不等式：1212()p p pp n n a a a a a a n n++++++≤，其中0(1,2,,)i a i n >=、1p >、n N *∈．10．已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-． ⑴用a 表示出b 、c ；（2010年湖北）⑵若不等式()ln f x x >在(1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； ⑶证明不等式：1111ln(1)()232(1)n n n N n n *++++>++∈+．11．⑴已知函数()ln 1((0,))f x x x x =-+∈+∞，求函数()f x 的最大值；⑵设k a 、(1,2,,)k b k n =均为正数，证明： ①若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++，则12121n b b b n a a a ⋅⋅⋅≤；②若121n b b b +++=，则1222212121n a a a n n b b b b b b n≤+++≤+++．12．⑴已知函数()(1)(0)rf x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<．求()f x 的最小值；⑵试用⑴的结果证明如下命题：设10a ≥、20a ≥，1b 、2b 为正有理数． 若121b b +=，则12121122bba a ab a b ⋅≤+；⑶请将⑵中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题． 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=．13．设n 是正整数，r 为正有理数．⑴求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；⑵证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；⑶设x R ∈，记[]x 为不小于x 的最小整数，例如：[2]2=、[]4π=、3[]12-=-．令3125S =，求[]S 的值．14．⑴已知函数()(1)f x x x αα=+-（1x >-、01α<<），求函数()f x 的最大值；⑵①证明：11p q ab a b p q≤+，其中0a >、0b >，且1p >、1q >、111p q +=；②证明：11111()()nnnp q p qi i ii i i i a b ab ===≤∑∑∑，其中0i a >、0(1,2,,)i b i n >=，且1p >、1q >、111p q+=．导数压轴题精选三、解答题： 10．已知函数21()22f x x x =-、()log a g x x =（0a >，且1a ≠），其中a 为常数． 如果()()()h x f x g x =+是(0,)+∞上的增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x的导函数）． ⑴求a 的值；⑵设11(,)A x y 、2212(,)()B x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-（()g x '为()g x 的导函数），证明：102x x x <<．解：⑴因为21()2log (0)2a h x x x x x =-+>，所以21ln 2ln 1()2(0)ln ln x a x a h x x x x a x a-+'=-+=>． 因为()h x 在区间(0,)+∞上是增函数，所以2ln 2ln 10ln x a x a x a-+≥在区间(0,)+∞上恒成立． 若01a <<，则ln 0a <，于是2ln 2ln 10x a x a -+≤恒成立．又()h x '存在正零点，故2(2ln )4ln 0a a ∆=-=，得ln 0a =或ln 1a =与ln 0a <矛盾．所以1a >．由2ln 2ln 10x a x a -+≥恒成立，又()h x '存在正零点，故2(2ln )4ln 0a a ∆=-=，所以ln 1a =，即a e =．⑵由⑴，001()g x x '=，于是21210021211ln ln y y x x x x x x --=⇔=--． 以下证明21121ln ln x x x x x -<-．（※）、（※）等价于121121ln ln 0x x x x x x --+<．令22()ln ln x x x x x x x ϕ=--+，2()ln ln x x x ϕ'=-，在2(0,]x 上，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在2(0,]x 上为增函数．当12x x <时，12()()0x x ϕϕ<=，即121121ln ln 0x x x x x x --+<， 从而01x x >得到证明．对于21221ln ln x x x x x ->-同理可证，所以102x x x <<．评讲建议：此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究 函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的 中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点． 第二小题还可以这样证明：要证明21121ln ln x x x x x -<-，只要证明212111ln x x x x ->，令21x t x =，作函数()1ln h t t t =--，下略．10．已知函数()2ln bf x ax x x=--，且(1)0f =． ⑴若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围； ⑵若函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为0，且211()11n n a f n a n +'=-+-+，又已知14a =，求证：22n a n ≥+； ⑶在⑵的条件下，试比较12111111n a a a ++++++与25的大小， 并说明你的理由．解：⑴x x a ax x f b a b a f ln 2)(,0)1(--=∴=⇒=-=，x xa a x f 2)(2-+='∴．要使函数f (x )在定义域),0(+∞内为单调函数，则在),0(+∞内)(x f '恒大于0或恒小于0，当02)(0<-='=xx f a 时，在),0(+∞内恒成立；当时，0>a 要使01)11()(2≥-+-='aa a x a x f 恒成立，则01≥-a a ，解得1≥a ，当时，0<a 02)(2≤-+='x xa a x f 恒成立，所以a 的取值范围为(,0][1,)-∞+∞．⑵根据题意得：2)11()(,1,02,0)1(-='∴==-+='xx f a a a f 得即，于是121)()11(2221+-=+--=+-'=+n n n n n na a n n a n a f a ， 用数学归纳法证明如下：当时，1=n 21241+⨯≥=a ，不等式成立； 假设当k n =时，不等式22+≥k a k 成立，即22≥-k a k 也成立，当1+=k n 时，2)1(25412)22(1)2(1++>+=+⨯+≥+-=+k k k k a a a k k k ，所以当1+=k n ，不等式也成立，综上得对所有*N n ∈时，都有22+≥n a n ．⑶由⑵得121]222)1(2[1)22(1111+=++-+-≥++-=----n n n n n a n n a n a a a ， 于是)1(211+≥+-n n a a )2(≥n ，所以)1(21)1(21),1(2112312+≥++≥++≥+-n n a a a a a a ，累乘得：)2(112111),1(211111≥+⋅≤++≥+--n a a a a n n n n 则，所以52)211(52)2121211(1111111112121<-=+++++≤++++++-n n n a a a a ．10．定义：对于函数()()f x x M R ∈⊆，若()()f x f x '<对于定义域M 内的任意x恒成立，则称函数()f x 为M 上的ϕ函数．⑴判断函数()ln xf x e x =是否为其定义域上的ϕ函数，并证明你的结论；⑵若函数()F x 为R 上的ϕ函数，试比较()F a 与(0)()ae F a R ∈的大小；⑶若函数()F x 为R 上的ϕ函数，求证：对于定义域内的任意正数1x 、2x 、、n x ，均有1212[ln()](ln )(ln )(ln )n n F x x x F x F x F x +++>+++成立．解：⑴是．⑵构造函数()()xF x g x e =，()(0)(0)()(0)(0)()(0)(0)a aaF a e F a F a e F a F a e F a ⎧>>⎪==⎨⎪<<⎩． ⑶构造函数()()xF x g x e=为R 上的增函数，因为121n x x x x +++>， 所以121ln()ln n x x x x +++>，得121[ln()](ln )n g x x x g x +++>， 即1211211211ln()ln 12ln()ln()(ln )(ln )n n n x x x x n F x x x x F x x x F x F xe e x x x +++++++++>⇔>+++， 同理212212ln()(ln )n n x F x x x F x x x x +++>+++、、1212ln()(ln )n n n nx F x x x F x x x x +++>+++， 将上述n 个不等式相加即得所证结论．10．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数2()(,)x a f x b c N bx c *+=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2f -<-．⑴试求函数()f x 的单调区间；⑵已知各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a ⋅=，求证：1111ln n nn a n a ++-<<-；⑶设1n nb a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<．解：⑴设22(1)0(1)x ax b x cx a b bx c+=⇒-++=≠-201201c b a b ⎧+=-⎪⎪-⇒⎨⎪⨯=⎪-⎩∴012a c b =⎧⎪⎨=+⎪⎩ ∴2()(1)2x f x c x c =+- 由21(2)1312f c c --=<-⇒-<<+,又∵,*b c N ∈ ∴2,2c b ==,∴2()(1)2(1)x f x x x =≠-.于是222222(1)22()4(1)2(1)x x x x xf x x x ---'==-- 由()0f x '>得0x <或2x >； 由()0f x '<得01x <<或12x << 故函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(2,)+∞， 单调减区间为(0,1)和(1,2)．⑵由已知可得22n n n S a a =-，当2n ≥时，21112n n n S a a ---=-，两式相减得11()(1)0n n n n a a a a --+-+=，∴1n n a a -=-或11n n a a --=-．当1n =时，2111121a a a a =-⇒=-，若1n n a a -=-，则21a =这与1n a ≠矛盾，∴11n n a a --=-，∴n a n =-．于是，待证不等式即为111ln 1n n n n+<<+． 为此，我们考虑证明不等式111ln ,01x x x x x+<<>+． 令11,0,t x x +=>，则1t >，11x t =-，再令()1ln g t t t =--，1()1g t t'=-，由(1,)t ∈+∞知()0g t '>，∴当(1,)t ∈+∞时，()g t 单调递增，∴()(1)0g t g >=，于是1ln t t ->， 即11ln ,0x x x x +>>，①令1()ln 1h t t t =-+，22111()t h t t t t -'=-=， 由(1,)t ∈+∞知()0h t '>，∴当(1,)t ∈+∞时，()h t 单调递增，∴()(1)0h t h >=，于是1ln 1t t >-，即11ln ,01x x x x +>>+．②由①、②可知111ln ,01x x x x x+<<>+．,所以111ln 1n n n n+<<+，即1111lnn n n a n a +-<<-． ⑶由⑵可知1n b n =，则111123n T n=++++，在111ln 1n n n n +<<+中，令1,2,3,,2007n =，并将各式相加得 111232008111ln ln ln 1232008122007232007+++<+++<++++．即200820071ln 2008T T -<<．10．设函数()ln f x x =．⑴若(0,1)α∈，求函数()()(1)(1)g x f x f x αα=+--的最大值；⑵已知正数α、β满足1αβ+=，求证：1212()()()f x f x f x x αβαβ+≤+； ⑶已知0i x >，正数i a 满足11nii a==∑，证明：11ln ln nni i i i i i a x a x ==≤∑∑（其中1i =、2、、n ）．解：⑴在(0,)α上单调递增、(,1)α上单调递减． ⑵构造函数11()()()()h x f x f x f x x αβαβ=+-+， 在1(0,)x 上单调递增、1(,)x +∞上单调递减． ⑶当1n =、2时结论显然成立；假设(,2)n k k N k *=∈≥时结论成立，那么当1n k =+时，由于1211(0,1,2,,1)k k a a a a k k ++++=>=+，有121111111k k k k a a a a a a ++++++=---， 得12112111111ln ln ln ln()11111k k k k k k k k k a a a a ax x x x x a a a a a ++++++++≤++-----， 即1122112211ln ln ln (1)ln 1k kk k k k a x a x a x a x a x a x a a ++++++++≤--，所以1111111111ln ln ln (1)ln ln 1k kk k k k k k k k a x a x a x a x a x a a x a +++++++++++≤-+- 1111111111ln ln ln (1)ln ln 1k kk k k k k k k k a x a x a x a x a x a a x a +++++++++++≤-+-1111111111ln[(1)]ln()1k kk k k k k k k k a x a x a a x a x a x a x a ++++++++≤-+≤+++-．10．⑴已知正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，求证：333log log log 1a a b b c c ++≥-；⑵已知1231n a a a +++=，其中0(1,2,,3)n i a i >=，求证：131232333log log log n n a a a a a a n +++≥-．解：⑴令333()log log (1)log (1)(01)f x x x b b x b x b x =++----<<，33()log log (1)f x x x b '=---，当1(0,)2bx -∈时，()f x 单调递减； 当1(,1)2b x -∈时，()f x 单调递增，所以3311()()(1)log log 22b bf x f b b b --≥=-+．令331()(1)log log (01)2x g x x x x x -=-+<<，331()log log 2xg x x -'=-， 当1(0,)3x ∈时，()g x 单调递减，当1(,1)3x ∈时，()g x 单调递增，所以1()()13g x g ≥=-．⑵用数学归纳法证明，①当1n =时，由上可知结论成立；②假设当n k =时结论成立，那么当1n k =+时，令131323k k k t a a a +++=+++，则3121111k a a a t t t+++=---， 所以331122333log log log 111111k k a a a a a ak t t t t t t+++≥-------，所以1312323123333log log log (1)()log (1)k k k a a a a a a k t a a a t +++≥--++++-，所以1312323333log log log (1)(1)log (1)k k a a a a a a k t t t +++≥--+--．令12312323k k k a a a s +⨯+⨯++++=，则313223k k k a a a t s ++⨯+++=-，所以3132231k k ka a a t s t s t s++⨯+++=---，所以 3313223()()log ()k k k a a a k t s t s t s ++⨯+++≥--+--，同理132312323log k k k a a a ks s s +⨯+⨯++++≥-+，相加得结论．10．已知函数1()2()()p p p pf x x a x a -=+-+（0x ≥、0a >、1p >）．⑴求函数()f x 的最小值；⑵证明：()22p pp a b a b ++≤，其中0a >、0b >、1p >； ⑶证明：1212()p p pp n n a a a a a a n n++++++≤，其中0(1,2,,)i a i n >=、1p >、n N *∈．解：⑴11()[(2)()]p p f x p x x a --'=-+，函数()f x 在(0,)a 上单调递减、在(,)a +∞上单调递增，故()()0f x f a ≥=． ⑵由⑴可知11()2()()02()()0p p p p p p p p f x x a x a x a x a --=+-+≥⇒+-+≥12()()()22p p p ppppx a x a x a x a -++⇒+≥+⇒≥，令x b =即可．⑶用数学归纳法．①当1n =、2时，结论明显成立；②假设当()n k k N *=∈时，结论成立，即1212()p p ppkk a a a a a a kk++++++≤，那么当1n k =+时，即要证121121()11p p p pp k k k k a a a a a a a a k k ++++++++++≤++，令1212()()(0)11p p p p pk k a a a x a a a x g x x k k ++++++++=->++， 那么11121()()111p p k a a a x px g x p k k k --++++'=-⋅+++ 1112[()](0)11p p k a a a x px x k k --++++=->++， 函数()g x 在12(0,)k a a a k +++上单调递减、在12(,)ka a a k++++∞上单调递增，故12()()ka a a g x g k+++≥12121212()()11p p p p k kk k p a a a a a a a a a a a a k k k k ++++++++++++++=-++121212()()1p p p pk k p k a a a a a a a a a k k k++++++++++=-+1212()1p p p pk k a a a a a a k k k ++++++-=+， 由归纳假设有1212()p p pp k k a a a a a a k k++++++≤，所以1212()p p pp k k a a a a a a k k++++++-≥-，所以1212()1p p p pk k a a a a a a k k k ++++++-=+121201p p p p p pk k a a a a a a kk k ++++++-≥=+，故当1n k =+时，结论仍成立，由①②可知原命题正确．10．已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-． ⑴用a 表示出b 、c ；（2010年湖北）⑵若不等式()ln f x x >在(1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； ⑶证明不等式：1111ln(1)()232(1)n n n N n n *++++>++∈+．本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想．解：⑴ 2()bf x a x '=-，则有(1)0(1)1f a b c f a b =++=⎧⎨'=-=⎩，解得112b a c a =-⎧⎨=-⎩． ⑵由⑴知，1()12a f x ax a x-=++-，令1()()ln 12ln a g x f x x ax a x x-=-=++--，[1,)x ∈+∞．则(1)0g =，22221(1)()11(1)()aa x x a ax x a a g x a x x x x-------'=--==． ①当 102a <<时11a a ->，若 11ax a -<<，则()0g x '<，()g x 是减函数， 所以()()0g x g l <=，()ln f x x >，故()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒不成立．②12a ≥时，11a a-≤，若()ln f x x >，故当1x ≥时，()ln f x x ≥，综上所述，所求a 的取值范围为1[,)2+∞．⑶解法一：分析：1111ln(1)()232(1)nn n N n n *++++>++∈⇔+ 111111111ln(1)ln 2(1)2(1)nnn n i i i i n i n i n i i i i ====+>++⇔>+++∑∑∑∑， 猜想不等式1111ln 2(1)n n n n n +>++成立．由⑵知：当12a ≥时，有()ln (1)f x x x ≥≥．令12a =，有11()()ln (1)2f x x x x x =-≥≥，当1x >时，11()ln 2x x x ->．令1n x n +=，有111111ln[][(1)(1)]2121n n n n n n n n ++<-=+--++， 即1111212(1)111ln )()212(1)2(1)2(1)n n n n n n n n n n n n n +++-<+===-++++，所以有1111ln 2(1)n n n n n +>++成立，取1n =、2、、n ，将上述n 个不等式一次相加得1111111ln 2(1)nn n i i i i i i i i ===+>++∑∑∑，整理得1111....ln(1)232(1)nn n n ++++>+++．解法二：由⑵知：当12a ≥时，有()ln (1)f x x x ≥≥． 令12a =，有11()()ln (1)2f x x x x x =-≥≥，当1x >时，11()ln 2x x x ->．令1k x k +=，有111111ln [][(1)(1)]2121k k k k k k k k ++<-=+--++，即111ln(1)ln ()(1,2,3)21k k k n k k +-<+=+，将上述n 个不等式一次相加得11111ln(1)(.....)2232(1)n n n +<++++++，整理得1111....ln(1)232(1)nn n n ++++>+++．解法三：用数学归纳法证明．①当1n =时，左边1=，右边1ln 214=+<，不等式成立． ②假设n k =时，不等式成立，就是1111)ln(1)232(1)kk k k ++++>+++．那么111111.....ln(1)2312(1)1k k k k k k +++++>++++++2ln(1)2(1)k k k +=+++．由⑵知：当12a ≥时，有()ln (1)f x x x ≥≥．令12a =，有11()()ln (1)2f x x x x x=-≥≥．令21k x k +=+，得：1212()ln ln(2)ln(1)2121k k k k k k k k +++-≥=+-++++．∴21ln(1)ln(2)2(1)2(2)k k k k k k ++++≥++++．∴11111.....ln(2)2312(1)kk k k k +++++>++++．就是说，当1n k =+时，不等式也成立．根据①和②，可知不等式对任何n N ∈都成立．11．⑴已知函数()ln 1((0,))f x x x x =-+∈+∞，求函数()f x 的最大值；（2011湖北）⑵设k a 、(1,2,,)k b k n =均为正数，证明：①若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++，则12121n b b b n a a a ⋅⋅⋅≤；②若121n b b b +++=，则1222212121n a a a n n b b b b b b n≤+++≤+++．12．（本小题满分14分）（2012湖北）⑴已知函数()(1)(0)rf x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<．求()f x 的最小值；⑵试用⑴的结果证明如下命题：设10a ≥、20a ≥，1b 、2b 为正有理数． 若121b b +=，则12121122bba a ab a b ⋅≤+；⑶请将⑵中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题． 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=． 解：⑴ 11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-，令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)内是减函数； 当 1x > 时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞内是增函数. 故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =．⑵由⑴知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+-．① 若1a ，2a 中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤+成立； 若1a ，2a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122()(1)b a ab b a a ≤⋅+-，即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即12121122b b a a a b a b ≤+.综上，对120,0a a ≥≥，1b ，2b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b ≤+．②⑶⑵中命题的推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数．若121n b b b +++=，则12121122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++．③用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立．（2）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++=，则12121122k b b b k k k a a a a b a b a b ≤+++．当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a +为非负实数，121,,,,k k b b b b +为正有理数，且1211k k b b b b +++++=，此时101k b +<<，即110k b +->，于是111212121121()k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a a a a a ++++==12111111111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aa a a +++++----+．因121111111k k k k b b b b b b ++++++=---，由归纳假设可得 1211111112k k k k b b b b b b kaaa+++---≤1212111111k k k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅---112211k kk a b a b a b b ++++=-， 从而112121k k b b b b kk a a a a ++≤1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭．又因11(1)1k k b b ++-+=，由②得1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭11221111(1)1k k k k k k a b a b a b b a b b +++++++≤⋅-+- 112211k k k k a b a b a b a b ++=++++，从而112121k k b b b b k k a a a a ++112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++． 故当1n k =+时，③成立． 由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立． 说明：⑶中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立，则后续证明中不需讨论1n =的情况．13．设n 是正整数，r 为正有理数．（2013湖北）⑴求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；⑵证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；⑶设x R ∈，记[]x 为不小于x 的最小整数，例如：[2]2=、[]4π=、3[]12-=-．令3125S =，求[]S 的值．（参考数据：4380344.7≈、4381350.5≈、43124618.3≈、43126631.7≈）解：⑴()(1)(1)(1)(1)[(1)1]rrf x r x r r x '=++-+=++-，∴()f x 在(1,0)-上单减、 在(0,)+∞上单增，∴min ()(0)0f x f ==． ⑵由⑴知：当1x >-时，1(1)(1)1r x r x ++>++（就是伯努利不等式了），所证不等式即为：1111(1)(1)(1)(1)r r r r r r n r n n n r n n ++++⎧-+<-⎨++<+⎩，若2n ≥， 则1111(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1r r r r r r nr n n n r n n n n++-+<-⇔--<--⇔-<--，①1(1)1r r n n ->-+、1r r n n ->--，∴1(1)111r r r n n n ->->--，故①式成立．若1n =，11(1)(1)r r r nr n n ++-+<-显然成立．1111(1)(1)1(1)(1)1(1)1r r r r r r n r n n n r n n n n++++<+⇔++<++⇔+<++，②1(1)1r r n n +>+、1r r n n >+，∴1(1)111r r r n n n +>+>++，故②式成立．综上可得原不等式成立．⑶由⑵可知，当k N *∈时，441443333333[(1)][(1)]44k k k k k --<<+-，∴()444125433338133[1](12580)210.22544k S k k =>--=-≈∑，444412533338133[(1)](12681)210.944k S k k =<+-=-≈∑，∴[]211S =．14．⑴已知函数()(1)f x x x αα=+-（1x >-、01α<<），求函数()f x 的最大值；⑵①证明：11p q ab a b p q≤+，其中0a >、0b >，且1p >、1q >、111p q +=；②证明：11111()()nnnp q pqi i ii i i i a b ab ===≤∑∑∑，其中0i a >、0(1,2,,)i b i n >=，且1p >、1q >、111p q+=． 解：⑴max (0)1f f ==．⑵①由⑴知(1)1x x αα+-≤，令1p q a x b +=、1(0,1)pα=∈，得11()(1)1p pp q q a a b p b--≤，又因为111p q +=，且11(1)1q q q q p p q -=-=⋅=，得11111111q qp q p q p q p q p pqqpa a ab a b ab a b ab a b p b q p q p q p qb---≤+⇒≤+⇒≤+⇒≤+． ②由⑵①知11p qab a b p q ≤+， 令112()kp p p pn a a a a a =+++、112(1,2,,)()kq q q qn b b k n b b b ==+++则有111212()()kkp p p q q q pqn n a b a a a b b b ⋅++++++11121211[][]()()p qk k p p p q q q p q n n a b p q a a a b b b ≤+++++++ 121211p q k k pp pqq qnna b p a a a q b b b =⋅+⋅++++++．将上述个不等式依次相加得1122111212()()n np p p q q q pqn n a b a b a b a a a b b b +++++++++⋅1212121211111p p p q q q n n pp p q q q n n a a a b b b p a a a q b b b p q++++++≤⋅+⋅=+=++++++，所以1111221212()()p ppq qq pqn n n n a b a b a b a a a b b b +++≤+++⋅+++．。