求曲线轨迹方程的五种方法
一、直接法
如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。

例1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。

解：设点P的坐标为(x, y)，
则A( 2x，0)，B(0，2y)，由|AB|=2a 得
(2x 0)2(0 2y)2=2a
化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程
点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。

二、定义法
如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。

例2动点P到直线x+4=0的距离减去它到M (2, 0)的距离之
差等于2,则点P的轨迹是( )
A、直线
B、椭圆
C、双曲线
D、抛物线
解法一：由题意，动点P到点M (2, 0)的距离等于这点到直线
x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。

解法二：设P点坐标为(x，y)，贝S
|x+4卜(x 2)2 y2=2
当x>-4 时，x+4- , (x 2)2 y2=2 化简得
当时，y 2=8x
当 X V -4 时，-x-4- .. （x 2）2 y 2 =2 无解
所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x
点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程， 明显, 解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义 法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。

三、代入法
如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （ a , b ）,而Q （ a, b ） 又在某已知曲线上，则可先列出关于 x 、y 、a 、b 的方程组，利用X 、 y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程， 此法称为代入法。

2
仝1上运动，则厶F 1F 2P
9
的重心G 的轨迹方程是 _____________________
解：设 P （X 。

，y 。

），G （x ，y ），则有
由于G 不在F 1F 2上，所以卄0
四、参数法 x
1(x 4 X 。

） y
1(0
0 y o ) x 2 2 y 1得 9x 2
16 9 16
即9x2
2 y 1 16
即x 3x ，代入 y 。

3y 磴1 9
P 在以F i 、F 2为焦点的双曲线 2 x 16
如果轨迹动点P (x, y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。

例4 已知点M在圆13X1 2+13y2-15x-36y=0上，点N在射线0M 上，且满足|0M| • |ON|=12，求动点N的轨迹方程。

分析：点N在射线0M上，而同一条以坐标原点为端点的射线上两点坐标的关系为(x,『)与(kx, ky) (k> 0),故采用参数法求轨迹方程。

解：设N (x, y),则M (kx, ky), k>0
由|0M| • |ON|=12 得
、k2 (x2 y2) • . x2 y2=12
••• k (x2+y2) =12,又点M在已知圆上，
••• 13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0
由上述两式消去x2+y2得
5x+12y-52=0
点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消参较易。

五、交轨法
若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点方程，此法称为交轨法。

2 2
例5已知A i A是椭圆x2与1 (a>b>0)的长轴，CD是垂
a b
直于A i A的椭圆的弦，求直线A i C与AD的交点P的轨迹方程。

解：设P (x, y), C (x°, y°), D (心-y°),(沪 0)
T A i (-a, 0), A (a, 0),由A「C、P 共线及A、D、P 共线得
y。

y
x0 a x a
_y^ y
x0 a x a
2 2 2 2 两式相乘并由智乌1，消去x°,y°,得，所求轨迹方程为笃爲1 a b a b (0)
点评：交轨法的难点是消参，如何巧妙地消参是我们研究的问题。