2.3 薛定谔方程
经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程， 量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程
14
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件： （1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
i (prEt)
(r, t) Ae
i E
t
2


p2 2

15
利用自由粒子
E p2
2
i 2 2
t 2
二、能量和动量算符
E i t
p i
16
三、薛定谔方程
一般情况下
p2 E U (r)
2
根据能量和动量算符
i 2 2 U (r) t 2
29
En

(n
1 ),
2
n 0,1, 2,...
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象 性的表现，因为“静止 的”波没有意义。
30
厄密多项式
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
递推关系
dHn ( d
式中

p (r)

1
(2)3/ 2
e ipr /
c(p, t )

1
(2)3/ 2

(r,
t
)e

i
pr
dxdydz
13

(r, t )

1
(2)3/ 2
c(p,
t
)e
i
pr
dpx
dp
y
dpz
(r, t)和c(p, t)是同一种状态的两种不同的描述方式， (r, t) 是以坐标为自变量的波函数， c(p, t)是以动量为自变量的波 函数。
n
(x
a
)e

i
Ent
a 2a
25
束缚态：本征能 量小于势能，即 E<U0
基态：体系能量最 低的态
本征函数的奇偶性 取决于势能函数
26
2.7 线性谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡位置附 近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子和表面振动以 及辐射场的振动等都可以分解成若干彼此独立的简谐振动。
归一化条件可表示为：
2
(x, y, z, t) d 1

那么，称为归一化波函数
归一化波函数还可以含有一个相因子 ei
8
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如 描述自由粒子的平面波函数。
(r,t) Aexp[i(k r t)]
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
量或强度不同的两种波动状态；
而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态。
因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。
7
在时刻t，点(x, y, z)附近的体积元dV内找到粒子的几率dW可 以表述为：
dW(x, y, z, t) (x, y, z, t) 2 d
几率密度为： w(x, y, z, t) (x, y, z, t) 2
n (x)

1/

2 2n
n!
exp(

1 2

2
x
2
)
H
n
(x)
0(x)
1/2
exp( 1 2 x2 )
2
1(x)
( m / )
2 1/2
x
exp(

1 2

2
x
2
)
32
谐振子波函数的奇偶性
n (x) (1)n n (x)
1 er/a
a3
10
2.2 态叠加原理
一、态叠加原理
经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。 量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。
c11 c22
c1，c2是复数
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
2 c11 c22 2 (c11 c22 )(c11 c22 )
w
1
exp( 2 )d
16%
0
经典允许区
34
n=10时线性谐振子的位置几率分布
35
习题 P52~53 1、3、4、5、7、8
36
5
（4）就强度分布来说，电子的双缝衍射与经典波(如声波)的 双缝衍射是相似的，而与机枪子弹的分布完全不同．这种现象 应怎样理解呢?
在底板上点r附近衍射花样的强度
在点r附近感光电子的数目 在点r附近出现的电子的数目 电子出现在点r附近的几率．
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
c11 2 c12 2 c1c212 c1c212
11
如果波函数ψ1(r, t)，ψ2(r,t), …都是描述系统的可能的量子态， 那么它的线性叠加
c11 c2 2 ... cn n cn n
n
也是这个体系的一个可能的量子态， c1，c2, …一般也是复数。
w J 0 t
V
w t
d

SJ dS
统计诠释对波函数提出的要求： 波函数必须是有限的、连续的和单值的
2.5 定态薛定谔方程
我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况
19
i 2 2 U (r) t 2
考虑一种特解 (r,t) (r) f (t)
下面着重讨论一下基态
经典力学，对于能量E0= ħω/2的谐振子，粒子将限制在 x 1
范围内运动
对于量子力学，粒子将有一定的几率处于经典允许区之外，对于
基态，该几率为

w
1 0 (x) dx

0 0 (x) dx
33
0(x)
1/2
exp(
1 2x2)
2
exp( 2 )d
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 波函数的统计诠释
2.2 态叠加原理
2.3 薛定谔方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
2.5 定态薛定谔方程
2.6 一维无限深势阱
2.7 线性谐振子
1
2.1 波函数的统计诠释
1、如何解释一个波所描述的一个粒子的行为？
（1）平面波可以用来描述自由粒子。 Aei(krt )
质量为m、频率为ω的振子的哈密顿量可表示为
H px2 1 m 2 x2
2m 2
定态薛定谔方程

2 2m
d2 dx2

(x)

1 2
m 2 x2
(x)

E
(x)
27
令
m x x, m


d 2 d 2
( 2 )
0


2E

首先考虑方程的渐近解
2
本征方程
Hˆ E
当体系处于能量本征态时，粒子的能量有确定值E 21
以En表示体系能量算符的第n个本征值， n是与En相应的波 函数，则体系的第n个定态波函数为
iEnt
n (r,t) n (r)e
iEnt
(r,t) cnn (r)e
n
22
2.6 一维无限深势阱
利用波函数在边界处连续，
(a) (a) 0
体系的能量
E

22
8ma 2
n2,
n 1, 2, 3, ...
24
相应的归一化的波函数为
n



1 a
sin n
2a
(x a),
0,
xa x a
定态波函数为
n (x,t)
e
i
Ent
n

1
sin
（2） 如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一 个函数来描写粒子的波，称为波函数。
（3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。
若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作
用而形成的，衍射图样应该与粒子流强度有关，但实
验证明它们两者却无关。
2
2、波函数统计诠释
（1）机枪子弹的“双缝衍射”
在一维空间运动的粒子，其势场满足
U
(
x)

0
x a
x a
（1）阱外（xa, x -a）
因为势壁无限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函数的统计解 释，在阱壁和阱外粒子的波函数为零。
0, x a 23
（2）阱内（a> x > -a）

2 2m2 x 2源自Ei df 1 [ 2 2 U (r) ] 常数＝E f dt 2
(r,t) (r) exp(i Et)

E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。
定态与定态波函数
20
定态薛定谔方程

2
2
2
U (r)


E
哈密顿算符
Hˆ 2 2 U (r)
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
i (Etpr)
p (r,t) Ne
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