高中数学复习：定积分应用
定积分的计算
1．若则123,,S S S 的大小关系为 A ． B ． C ． D ． 2．1
0(2)x e x dx +⎰等于
A ．1
B ．1e -
C ．e
D ．1e +
3．2
0(1)x dx -⎰= ．
4．若 ．
5．计算定积分1
21(sin )x x dx -+=⎰___________．
6．设，若，则 ．
定积分的几何意义
1．由曲线y x =，直线2y x
=-及y 轴围成的图形的面积为 （A ）103 (B)4 (C)163
(D)6 2．直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A ．22
B ．24
C ．2
D ．4
3．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为
A ．
B ．
C ．
D ． 4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，
则此点取自阴影部分的概率等于 ．
222212311
11,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰123S S S <<213
S S S <<231S S S <<321S S S <<209,T
x dx T =⎰则常数的值为20
lg 0
()30a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰((1))1f f =a =14151617
5．如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．
6. 设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则
．
答案 定积分的计算
1.（2013江西）若则123,,S S S 的大小关系为 A ． B ． C ． D ． 【答案】B 32
2
1127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰， 223121x x S e dx e e e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．
2.（2011福建）10(2)x e x dx +⎰等于
A ．1
B ．1e -
C ．e
D ．1e +
【答案】C
1
0(2)x e x dx +⎰，选C ．
3.（2015湖南）
20(1)x dx -⎰= ．
【答案】0 0>a x y =
0,==y a x 2a =a 2
2
221231111,,,x S x dx S dx S e dx x
===⎰⎰⎰123S S S <<213
S S S <<231S S S <<321S S S <<210()x e x e =+=
2
2021(1)()002x dx x x -=-=⎰． 4.(2013湖南)若
．
【答案】3 ． 5.（2012江西）计算定积分
121(sin )x x dx -+=⎰___________． 【答案】
23 31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰112333=+=． 6.（2011陕西）设，若，则 ． 【答案】8.1
因为，所以，又因为，
所以，所以，． 考点35定积分的几何意义
1.（2011全国课标理9
）由曲线y =
2y x =-及y 轴围成的图形的面积为 （A
）103 (B)4 (C)163
(D)6 【答案】C
解2
y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得（4,2），由图知，由曲线y =，直线2y x =-及y 轴围成的图形的面积为4
02)x dx +⎰=3242021(2)|32x x x -+=163，故选C .
209,T x dx T =⎰则常数的值为393
330302=⇒===⎰T T x dx x T
T
20
lg 0()30a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰((1))1f f =a =10x =>(1)lg10f ==230()3a f x x t dt x a =+
=+⎰3(0)f a =31a =1a =
2.（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A ．22
B ．24
C ．2
D ．4 【答案】D
由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形
的面积2
3242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰，故选D ． 3.（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C
∵31
2201211)()0326S x x dx x x -=-=⎰阴影=（,正方形的面积为1，∴P =16，故选C ． 4.（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2
f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
【答案】512
由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于． 5.（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分
的概率为______．
141516
17221754433x dx -=-=⎰5
53412
=
【答案】22e
根据对称性，两个阴影部分面积相等，∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -
=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率为22=S S e 阴正． 6. （2012山东）设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则 ．
【答案】
94 ，解得． 0>a x y =
0,==y a x 2a =a a a x dx x S a
a ====⎰
23
02
30323249=a。