d1 d2 f
U
x,
y
exp
jk d1
jλεd1d2
d2
exp
j
k 2εd1d 2
1
d1 f
x2 y2
U 0
x0,
y0
exp
j
k 2εd1d2
1
d2 f
x02 y02
2
x0 x
y0
y
dx0dy0
特例：当d1 d2 f 时（即 f 1），我们有
dx0dy0
此即输入面位于透镜前，光源共轭面上光场分布的一般公式。
两个特殊位置的讨论
说明：照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系。因此 当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，这时 观察平面位于透镜后焦面上。
情形1、输入平面位于透镜前焦面时
此时，由于d0 f ,观察平面上的复振幅分布简化为
这里已假定薄透镜孔径很大，因此 P(x, y) 1。
接下来的工作是化简公式。
把Ul x, y的表达式代入，经过大量的代数运算，化简得
U
x,
y
c exp
jk
f d0 x2 2 q f d0
p
jk
q
f
f
x0x
d0
y0
y
fd0
U
x,
y
c exp
jk
x2 y2 2q
t
x0,
y0
exp
jk
x0 x
q
y0 y
dx0dy0
该式表明，衍射场的复振幅分布与衍射物体的复振幅透过率 不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。
观察面上频谱的空间尺度将按一定的比例缩放。这是因为其空
间频率
fx
x
q
,
fy
y
q
,随q的值（或照明光源位置）而变化。
我们也知道，用单位振幅平面波垂直照射衍射屏的情况下， 夫琅和费衍射分布函数就是屏函数的傅立叶变换。
加上透镜以后，我们可以实现近距离观察夫琅和费衍射，原 因在于：透镜具有相位变换作用。
透镜的相位变换作用（续）
无像差的正薄透镜对点光源的成像过程是点物成点像，从 波面变换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会 聚球面波。
U0 x0, y0 t x0, y0 U0 x0, y0
又根据菲涅耳衍射公式，到达观察屏S上的场分布为
U x, y
1
j q d0
t x0, y0 U0 x0, y0
0
exp
jk
x
x0 2
2 y q d0
y0
2
dx0dy0
同样经过大量的代数运算，观察平面上的复振幅分布变为
y
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
透镜的傅立叶变换性质
透镜除了可以成像外，还能作傅立叶变换。
我们将会看到，单位振幅平面波垂直照射衍射屏，在透镜的后 焦面（无穷远照明光源的共轭面）上观察的夫琅和费衍射，恰 好是衍射屏透过率函数的傅里叶变换。
另外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚中心的观察屏 上的菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数的傅里叶变换。
第三章 光学成像系统的频率特性
3.1 透镜的相位变换作用 3.2 透镜的傅立叶变换特性
陈世华
Department of Physics Southeast University
cshua@ 2011-8-29
透镜的相位变换作用
在衍射屏后面的自由空间观察夫琅和费衍射是比较困难的。 近距离观察夫琅和费衍射，则需要借助透镜来实现。
董比武
下次课： 第二章习题讲解
透镜的傅立叶变换性质（数学讨论）
（1）物在透镜之前
说明：置于透镜前方d0处的衍射片就是物，位于光源 共轭面的q平面上的图案就是它的像了。
下面我们一步一步地来分析这种物像关系。
首先，在傍轴近似下，单色点光源到达0前表面时的场分布为
A0
exp
jk
x02
2 p
y02 d0
,
A0为常数
透过物体（或衍射片），0后背面的场分布变为
p p d0
y0
。
实际情况下，p通常足够大，即入射光为近似平行光，故可认为
q f 。此时，我们有 x x0, y y0，孔径函数变为P x0, y0 。
上面的分析还不够全面，我们还需考虑像的位置影响。 如下图所示
y0
y
y
x0
x
x
d0 f
x, d0 f
y
x, y
衍射物
d0
对于任一像点 x,
A0t
x0 ,
y0
exp
jk
x02
2 p
y02 d0
,
t x0, y0 为物体的透过率系数
根据菲涅耳衍射公式，透镜前表面（P1面）的光场分布为
Ul x, y
A0
jd0
0
t
x0 ,
y0
exp
jk
x02 y02
2 p d0
exp
jk
x
x0 2
2d0
y
y0 2
U x, y c
t
x0 ,
y0
exp
jk
x0 x
f
y0 y
dx0dy0
该式表明，衍射场的复振幅分布与衍射物体的复振幅透过率
存在准确的傅里叶变换关系，且与照明光源的具体位置无关。
这种情况下，观察平面上的空间频率为
fx
x
f
,
fy
y
f
,
与照明光源的位置无关。
情形2、输入面紧贴透镜时
此时，由于d0 0,观察平面上的复振幅分布简化为
U
x,
y
cexp
jk
x2
2q
y2 d0
t
x0,
y0
exp
jk
x0x y0 y q d0
dx0dy0
我们可看出，不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明 光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的 关系都是傅里叶变换关系，观察面上的衍射场都是夫琅和费型。
当d0 0时，该公式可以进一步简化，且与物在透镜之前的 紧贴情形一致。
exp
jk d1
M
d2
exp
j Mf
x2 y2
U0
x M
,
y M
式中M d2 表示像的放大倍数。 d1
该式表明，U x, y就是U0 x0, y0 在观察平面上的像，M为其放大
倍数。这和几何光学的结果完全一致。
Thank you!
逆水行舟用力撑, 一篙松劲退千寻; 古云此日足可惜, 吾辈更应惜秒阴。
求解前的参数假设
透镜焦距为 f，物面0 位于透镜前d1处，观察面1位于透镜后
d
2
处，d1和d
是任意的。
2
用单位振幅单色平面波垂直照明物平面，设物面上的场分布
为U0 x0, y0 ，观察上的场分布为U x, y ，并假设光场在d1 和
d
距离上的传播满足菲涅耳衍射条件。
2
透镜前表面的场分布为
U1
x,
y
exp jkd1
jd1
U0 x0 , y0
exp
jk
x
x0
2
2d1
y
y0
2
dx0dy0
透镜后表面的场分布为（考虑到透镜的相位变换因子）
U1
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
U1
x,
y
最后，根据菲涅耳衍射公式，观察平面上的场分布为
U
x,
y
exp jkd2
jλd2
jk
x0x y0 y q d0
dx0dy0
（2）物在透镜前面情形
设透镜的孔径函数为Px, y。
假定物离透镜的距离d
很小，
0
因此透镜与物之间的传播可
假定为直线传播。
因此，根据几何关系，可得
x
p
p d0
x0
y
p
p d0
y0
因此，透镜的孔径函数用x0 ,
y0表示，即为P
p
p d0
x0 ,
U1
x,
y exp
j
k 2d2
x
x2
y
y2
dxdy
exp
jk d1
λ 2d1d 2
d
2
U0
x0,
y0
exp
jk
x2 2f
y2
exp
jk
x
x0 2
2d1
y
y0
2
+jk
x
x2
2d2
y
y2
dx0dy0dxdy
令 1 1 1 ；首先，当 0时，上式可以化简为
光源面
光源共轭面
发散球面波和会聚球面波在透镜平面上都具有球面波的二 次相位因子，透镜的功能就是改变二次相位因子的大小。
透镜的相位变换作用（数学推导）
设透镜的复振幅透过率为t x, y,定义为
t
x,
y
U1 U1
x, x,
y y
U1、U1 分别为P1、P2面上的复振幅分布
根据发散球面波公式（傍轴近似下），知P1面上的复振幅分布为：
y
,
其对应的物的坐标为
d0 f
x,
d0 f
y 。
因此，透镜的孔径函数为P
x0
d0 f
x,
y0