一维情况：
x x ( x) x( x)dx
F 是任一 力学量 算符
px px
(
x)
pˆ
x
(
x
)dx
F F ( x)Fˆ( x)dx
三
维
情
况
x ： p
x x px
(r) x(r)dr
(r) pˆ x (r)dr
F
F
(r)Fˆ(r)dr
若波函数未归一化，则
3．方程不能包含状态参量，如 p, E 等，否则方程只能 被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。
（二）自由粒子运动方程
描写自由粒子波函数:
A
exp
i
(
p•
r
Et )
应是所要建立的方程的解。
将上式对 t 微商，得：
i E
i E
t
t
（1）
这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将Ψ对坐标二次 微商，得：
t
2
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
i d （）d 2 •[ ]d
dt
2
d （）d i •[ ]d
dt
2
其微分形式与 流体力学中连 续性方程的形
式相同
d dt
(r ,
t
)d
• Jd
•J
0
t
闭区域τ
使用 Gauss 定理
J
i [ ]
上找到粒 子的总几 率在单位
2020高中物理竞赛
• 量子力学 • 第二章 第二课时
§3 力学量的平均值和算符的引进
（一）力学量平均值
（1）坐标平均值
（2）动量平均值
（二）力学量算符
（1）动量算符
（2）动能算符
（3）角动量算符 （4）Hamilton 算符
（一）力学量平均值
在统计物理中知道， 当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值 等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和； 当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种 可能值乘上相应的几率密度求积分。 基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子 坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广 至三维。
t 2
2
满足上述构造方程 的三个条件
所以
i 2 2
t
2
（3）
讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能动量关 系式 E = p2/2μ 写成如下方程形式：
p2 ( E ) 0
2
然后，做算符替换：
E p
i
t
pˆ
i
即得自由粒子运动方程（3）。
（三）势场 V(r)中运动粒子的 Schrödinger 方程
（一） 定域几率守恒
在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一 步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。 粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几率 密度是：
(r, t) (r, t)(r, t) | (r, t) |2
考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和 湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找 到它的几率总和应不随时间改变，即
（1）由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知 后，就知道了粒子在空间的几率分布，即
d ω(r, t) = |ψ(r, t)|2 d τ （2）已知 ψ(r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相 应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就 都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 （3）知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态
F
F
(r)Fˆ(r)dr (r)(r)dr
（2）动能算符 在经典力学中， T p2 所以动能算符 2m
则 T T (r)Tˆ(r)dr
Tˆ pˆ 2 2m
（3）角动量算符
Lrp
Lˆ
r
pˆ
L
(
r)
Lˆ(
r )dr
三个分量：
Lˆ x
ypˆ z
zpˆ y
i( y z
z
)
（一）引进方程的基本考虑
先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。
（1）经典情况
t t0时刻，已知初态是：r0,
dr
p0
m dt
t t0
粒子满足的方程是
牛顿方程：F
m
d2 dt
r
2
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子 的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时 间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
坐标 x 的算符就是其自身，即
xˆ x
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。
而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形
式必须改造成动量算符形式： 三维情况：
pˆ x
i d dx
rˆ r
pˆ
i[i
j
k
]
i
x
y
z
由归一化波函数ψ(r)求力学量平均值时，必须把该力 学量的算符夹在ψ*(r)和ψ(r)之间,对全空间积分，即
（1）证明：如果波函数是实数，则px 0.
(2)一维谐振子处于 (x) Ae 2x2 /2状态中， 其中为实常量，求：
I、归一化系数A；II、动能平均值。
§4 Schrödinger 方程
（一）引进方程的基本考虑 （二）自由粒子的运动方程 （三）势场 V (r) 中运动的粒子的
Schrödinger方程 （四）多粒子体系的Schrödinger方程
例如：
对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用：
Z
e2
V (r1 , r2 ,
, rZ )
i j
| ri rj
|
而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：
Ze2
Ui (ri ) ri
§5 几率守恒，几率流密度
（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质
i t
(r1 , r2 ,
, rN ; t )
N [ i1
2
2i
i2
Ui (ri )] V (r1 , r2 ,
, rN )(r1 , r2 ,
, rN ; t )
多粒子体系 Hamilton 量
Hˆ
N
[
i 1
2
2i
i2
Ui (ri )]V (r1, r2 ,
, rN )
微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后， 粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的 几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。 因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：
(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)波函数如何随时间演化。
这些问题在1926年Schrödinger 提出了波动方程之后得 到了圆满解决。
x x x | (r) |2 d
（2）动量平均值
一维情况：令ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为
( px )
1
(2)1/ 2
(x) exp( ipx x / )dx
|
(
p
x
)
|2
粒子动量为
p
的几率密度，则
x
px px
px | ( px ) |2 dpx
（二）力学量算符
（1）坐标平均值
为简单计，省去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变 化）,设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点的几 率密度，则
x x x | ( x) |2 dx
对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是粒子出 现在 r 点的几率密度，则x的平均值为
1
2
(
x
)e
i
p
x
x
p
x
(
p
x
)
dxdpx
1
2
(
x
)(
i
d dx
)e
i
px
x
(
p
x
)dxdpx
dx(x)(i d )[ 1
dx 2
e
i
p
x
x
(
px
)dpx
]
(x)(i d )(x)dx dx
(x) pˆ x(x)dx
比较上面二式得两点结论：
体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描写时，
d dt
(
r,
t
)d
0
d dt
(
r,
t
)d
0
表明，波函数归一化不随 时间改变，其物理意义是 粒子既未产生也未消灭。
讨论：
（1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必
然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现
这种变化。
（2） 以μ乘连续 性方程两边，得到：
同理可得量子力学 的电荷守恒定律：
若粒子处于势场 V(r) 中运动，则能动量关系变为：
p2
E V (r ) H
2
p2
E [ V (r )]
2
将其作用于波函数 做算符替换
i (r, t) [ 2 2 V (r)](r, t)
t
2
Hˆ(r,t) (4)
式中Hˆ是体系的Hamilton算符，亦常称为Hamilton量。
该方程称为 Schrödinger 方程，也常称为波动方程。 它描述微观世界中物质运动的基本规律。
S
J • dS
i
[ ]• dS
y