高二数学圆锥曲线知识整理及典型例题知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线(点的轨迹)方程。

它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。

因此在求动点轨迹方程的过程中,寻找与动点坐标有关的方程(等量关系) ，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

1、三种圆锥曲线的研究(1 )统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：dPid-e’enO、、dF为定点，d为P到定直线的距离，FF ,如图。

因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当0<e<1时，点P轨迹是椭圆；当e>1时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。

(2)椭圆及双曲线几何定义：椭圆：｛P||PF i|+|PF 2|=2a , 2a>|F i F2|>0, F i、F2为定点｝, 双曲线｛P|||PF i|-|PF 2||=2a , |F i F z|>2a>0 , F i, F2为定点｝。

(3 )圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

椭圆双曲线抛物线焦距2c长轴长2a实轴长2a短轴长2b焦点到对应准线距离2P=2^- c P通径长22 •丄a2p（4 ）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2、直线和圆锥曲线位置关系（1 ）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。

其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

（2 ）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。

当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。

4 、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方 法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

例题研究例1、根据下列条件，求双曲线方程。

•双曲线方程为a 2b 2 (3、、2)2 2a2—=■(入工0)(2 )设双曲线方程为a 2b 2(a>0, b>0)解之得:2 a b 2=12=8•双曲线方程为2 y12 8x 2法二：(1)设双曲线方程为(1 )与双曲线 2 2jj 1有共同渐近线，且过点(-3，2,3)；(2 )与双曲线2 21有公共焦点，且过点(3.2 ,1642)。

分析:2 2 法一：(1)双曲线xL 9 164 二1的渐近线为y 二—x3令 x=-3， y=± 4,因 2. 3 ::: 4，故点(-3，2.3 )在射线4y x (x w 0)及x 轴负半3轴之间,双曲线焦点在x 轴上2 y 2设双曲线方程为 笃-爲=1 ,a 2b 2(a>0, b>0)b _4 a 3 (-3)2 (2、3)2 才a 2b 2 解之得:a 2b 2 _9 4=4=20 22 =12 2Xy_ .14(3.2)2 _ 22=116 -k ~4 k "解之得：k=4(3 )设双曲线方程为2X16 -k=1(-3)2 9(2 3)2 16•••双曲线方程为•双曲线方程为2X122y-=i 8评注：与双曲线2X ~2a2-話/共渐近线的双曲线方程为2X~2a2与=& (入丰0),当入>0b时，焦点在x 轴上;当入<0时，焦点在y 轴上。

与双曲线x 2 ~2 a匚=1共焦点的双曲线为b 22 2X_ _ _ _1 2 2 -1 a 亠 k b -k2 2(a +k>0, b -k>0 )。

比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。

2 2例2、设F i 、F 2为椭圆 — y 1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知 P 、F i 、F 2是94个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求！^电!的值。

1 PF2 1解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。

IPF 1I+IPF 2 |=6 法一：当/PF 2F 1=900 时，由 qPF 1 |^|PF 2 |2 +(2c)2 得：c 2 =5 ■14 4 |PF 1 |, |PF 2 | = -33• EFJ _7 • |PF 2「2当/ F 1PF>=90°时，同理求得 |PF 1|=4 , |PF 2|=2 • |PF 1 | 22|PF 21法二：当/ PF 2F 1=90°, x P= 5将此式看成是 22m （1— m）关于X 的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到1 -5m 2取值范围。

根据双曲线有界性：|x|>m , x 2>mm 2(1 -m 2) 2-m21 -5m 2又 °<m<1 • 1-5m 2>°• | m |且 m M °5m（-彳,°）（°，¥）评注：利用双曲线的定义找到点P 轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时,般考X 2 +y 2 =&5)22 2得:X y194P （土）。

下略。

5 5评注：由|PF i |>|PF 2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。

求m 取值范围。

分析:根据题意，从点P 的轨迹着手•/ ||PM|-|PN||=2m2 y()①又 y=± 2x ( X M °)又 F 2 ( ,5 , 0) • |PF 2|= 4••• |PF i |=2a-|PF 2|=上3当/ F i PF>=90°，由丿例 3、设点 P 到 M （ -1，°），N （ 1，°） 的距离之差为2m 到x 轴、y 轴的距离之比为 2,2 Xm 21「m 2•••点P 轨迹为双曲线，方程为 ①②联立得:2 m 2(1「m 2) X虑利用函数思想，建立函数关系式。

例4、已知x 2+y 2=1，双曲线(x-1) 2-y 2=1,直线 同时满足下列两个条件：①与双曲线交 于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。

求直线方程。

分析：选择适当的直线方程形式，把条件“ 是圆的切线” “切点M 是弦AB 中点”翻译为关于 参数的方程组。

法一：当 斜率不存在时，x=-1满足; 当 斜率存在时，设：y=kx+b•｛与O 0相切，设切点为 M 则|OM|=1••• —|b|— =1J k 2 1 22••• b =k +1①y =kx +b 2 22由丿。

… 得：(1-k )x -2(1+kb)x-b=0(x _1)2 _y 2 =1当 k 工土 1 且厶 >0 时，设 A (X 1, yj , B (X 2, y 2),则中点 M (x °, y o ),• y o =kx o +b=———-21 —k•/ M 在O O 上2 2 .• x o +y o =1• (1+kb) 2+(k+b) 2=(1-k 2)2:y T x V"或 y代入(x-1) 2-y 2=1 得：(y o 2-x o 2)x 2+2(X o -y o ) 2x- 1=o2 2 “■/ y o +x o =1(1-2x o 2)x 2+2(x o 2+x o -1)x- 1=o2(1 kb) X 1 X 2 产，X o 二屮1 —k 1 —k由①②得:,V3 k =3 b = _2 J3 、 3k 」b叮3法二：设M (x o , y o ),则切线 AB 方程 x o x+y o y=1 当y o =O 时，x o =± 1,显然只有 x=-1满足;当 y o M o 时，y 二•—y oy o•可进一步化简方程为:即 2X O 3-X O 4-2X O +1=O1解之得：X 0=± 1(舍)，X 0= —23y o =。

下略2评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件(“相切”和“中点”参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的 例5、A B 是抛物线y 2=2px ( p>0)上的两点，且 OM OB (1 )求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)(3) 求证：直线AB 过定点； (4)(4) 求弦AB 中点P 的轨迹方程； (6)(5) 求厶AOB 面积的最小值； (6) O 在AB 上的射影 M 轨迹方程。

分析：设 A (X 1,y 1) , B ( X 2,y 2),中点 P (x o ,y 0)•/ OA 丄 OB/• k o/k oB =-1/• X 1X 2+y 1y 2=0 2 2y 1 =2px 1, y 2 =2px 2272 2pT y 1工 0, y 2^ 0“ 2••• y 1y 2=-4p“ 2 X 1X 2=4p(2) T y 1 =2px 1, y 2 =2px 242由中点坐标公式及韦达定理得:2X o X o -11 -2X。

2)转化为关于rHzj>o(1) k OA 1, k oBX 1y 2 X 22y 1 2p(y i -y 2) (y i +y 2)=2p(x i _x 2) y i —y2 _ 2p x i —X2 y i y 2i(4) S AOB = S . AOM ' S BOM =~ I OM I (I y 11 ■ I y 2 D = p(| y i 丨 1 y 2|)A 2p _|y i y 2 | =4p 2kAB2p y i y 2直线 AB ： y _y r =2p(x _x i )y i +y 22px y =y iy 2y i2px i y i y 22px y i y 22y i -2px i ym y i +『2y i 2 =2px i , y 〃2 - -4p 2 y= 2px •"P 2 y i 目2y i y 2• •• y 逹(x _2p)y i y 2• AB 过定点(2p , 0),设 M (2p , 0)(3)设 OA ： y=kx ，代入 y 2=2px 得:x=0，x=-2ppk同理，以一丄代k 得B (2pk ，-2pk ) kx o =p(k 2 +冷) •r kiy o =P (「—k)•kk 2PTxo=(X °)2 2p即 y o 2=px o -2p 2•中点M 轨迹方程y 2=px-2p当且仅当|y i |=|y 2|=2p 时，等号成立 评注：充分利用(1)的结论。