高等数学下册常用常见知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 ；6、7、向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++=；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u=，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

|（二）（三） 数量积，向量积 1、数量积：θcos b ab a=⋅1）2a a a =⋅2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯=—大小：θsin b a，方向：c b a,,符合右手规则1）0 =⨯a a2）b a //⇔=⨯b az y xzy xb b b a a a k j ib a=⨯运算律：反交换律 b a a b ⨯-=⨯（四） 曲面及其方程 1、]2、曲面方程的概念：),,(:=z y x f S3、 旋转曲面：（旋转后方程如何写）yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f4、 柱面：（特点）0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面5、@6、二次曲面（会画简图）1）椭圆锥面：22222z by a x =+ 2）椭球面：1222222=++cz b y a x旋转椭球面：1222222=++cza y a x 3）4）*单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x5）*双叶双曲面：1222222=--cz b y a x 6） 椭圆抛物面：z bya x =+2222 7）《8）*双曲抛物面（马鞍面）：z b ya x =-22229）椭圆柱面：12222=+by a x 10） 双曲柱面：12222=-b y a x 11） 抛物柱面：ay x=2（五） （六） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、$3、参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos4、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x H（七） 平面及其方程（法向量） 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =，过点),,(000z y x2、~3、一般式方程：0=+++D Cz By Ax （某个系数为零时的特点）截距式方程：1=++czb y a x4、两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==5、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：￥222000C B A DCz By Ax d +++++=（八） 空间直线及其方程（方向向量）1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ 。

⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==:第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、 多元函数：),(y x f z=，图形，定义域：3、^4、极限：Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(005、 连续：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→6、7、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 8、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。

9、@10、梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=。

11、全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂（二） 性质1、 2、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：3、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 4、 微分法 1）2）定义： u x3）复合函数求导：链式法则z[若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则v y充分条件z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 4） 隐函数求导：a.两边求偏导，然后解方程（组），b.公式法 （三） 应用 1、 极值 1） 无条件极值：求函数),(y x f z=的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令·),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值，若02>-B AC ，0<A ，函数有极大值； ② 若02<-B AC ，函数没有极值； ③ 若02=-B AC ，不定。

2） 条件极值：求函数),(y x f z=在条件0),(=y x ϕ下的极值令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ——— Lagrange 函数·解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的切线方程为：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2）曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：|))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分 （一） 二重积分1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：（6条）3、)4、几何意义：曲顶柱体的体积。

5、6、计算：1）直角坐标X 型区域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ， 21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰Y 型区域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ， 21()()(,)d d d (,)d dy cy Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰…*交换积分次序（课后题） 2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk kk k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、性质： 3、 计算：1）,2）直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -----------投影法“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -----------截面法“先二后一”3）4）柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ，(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5）*球面坐标*⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x：2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r r r φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用曲面D y x y x f z S ∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分 1、&2、定义：01(,)d lim (,)ni i iLi f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰3、 性质：1）[(,)(,)]d (,)d (,)d .LLLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰2）12(,)d (,)d (,)d .LL Lf x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰ ).(21L L L +=3）在L 上，若),(),(y x g y x f ≤，则(,)d (,)d .L L f x y s g x y s ≤⎰⎰4）ls L =⎰d ( l 为曲线弧 L 的长度)4、计算：`设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分 1、定义：设 L 为xoy 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在 L 上有界，定义∑⎰=→∆=nk kk k Lx P x y x P 10),(lim d ),(ηξλ，∑⎰=→∆=nk kk kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、3、 性质：；用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-LL y x F y x F d ),(d ),(4、计算：设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则(,)d (,)d {[(),()]()[(),()]()}d LP x y x Q x y y P t t t Q t t t t βαφψφφψψ''+=+⎰⎰5、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=，)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=，^则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域，函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数，则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰|⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分（四） 对面积的曲面积分 1、 定义： 设∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数，定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(1ζηξλ2、计算：———“一单值显函数、二投影、三代入”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则)yx y x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx d d ),(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） （六） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义： 设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理，1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、!4、性质：1）21∑+∑=∑，则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2）-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰5、计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”， ∑为下侧取“ - ”.6、两类曲面积分之间的关系：/()SR Q P y x R x z Q z y P d cos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。