一、平板壁面上层流传热的精确解
平板层流传热的对流传热系数可通过理论分析 法求算（精确解），亦可通过与卡门边界层积分 动量方程类似的热流方程得到。 平板湍流传热系数的求算，则通过热流方程的 方法来解决。
一、平板壁面上层流传热的精确解
流体在平板壁面上流过时速度边界层与温度边 界层的发展的2种情况：
y u0 y u0
即
t dt 0 t0 t ux dy dy x
y 0
仅考虑 x方向的流动，上式写成
d t dt 0 t0 t u x dy dy dx
du x d 0 (u0 u x ) u x dy = dy dx
边界层热流方程
y 0
边界层积分动量方程
壁面温度
q / A h(ts t f )
对流传 热通量 对流传 热系数
J / (m2.s)
流体温度
J / (m2.s.K)
三、对流传热系数
（1）平板边界层：
y
取
t f t0
t0 δt
q / A h(ts t0 )
u0 t0
0
ts
x
三、对流传热系数
（2）管内边界层（充分发展后） 取
求解湍流传热的对流传热系数的两个途径：
（1）应用量纲分析方法并结合实验 ，建立相应
的经验关联式； （2）应用动量传递与热量传递的类似性，通过 类比法求对流传热系数 h。
第八章 对流传热
8.1 对流传热机理与对流传热系数 8.2 平壁面上的对流传热
一、平板壁面上层流传热的精确解 二、平板壁面上层流传热的近似解 三、平板壁面上湍流传热的近似解
一、平板壁面上层流传热的精确解
令
u0 η( x , y ) y νx
T * dT * η 1 dT * η x dη x 2 x dη
T*
η
x
y
ux u0 f
1 u0 ν uy (ηf f ) 2 x
u0 dT T y vx dη
*
*
u0 d T T 2 y vx dη2
3-4面：流出 t0
2 3
质量流率：
m1 m2 m1 dx m1 [ u x dy (1)]dx x x
δt
1 4 dx
热量流率：
q1 t q2 q1 dx q1 [ c ptux dy (1)]dx x x 0
二、平板壁面上层流传热的近似解
B.C. (1) η 0 , T * 0 ; (2) η , T * 1
一、平板壁面上层流传热的精确解
令
dT * p d
dp Pr f p0 d 2
二次积分并代入B.C.（1）得

T*
0
dT *

0
Pr p0 [ exp( fd )]d 2 0 0

一、平板壁面上层流传热的精确解
温度分布方程
Pr exp 2 fd d ts t 0 0 T* t s t0 Pr 、 exp 2 fd d 0 0
T
50

Pohlhausen 采用数值法 将上式表示成右图：
一、平板壁面上层流传热的精确解
由于
2t 2t 2 2 x y
t t t ux uy α 2 x y y
2
边界层能 量方程
B.C. (1) y 0 , t t s ; (2) y , t t0 ; (3) x 0 , t t0
一、平板壁面上层流传热的精确解
2
t0
δt
1 dx
y 0
3
4
dt q4 kdx 1 dy
二、平板壁面上层流传热的近似解
q1 q3 q4 q2
t t dt c p ( tu x dy )dx c p ( t0u x dy )dx kdx x 0 x 0 dy 0
y 0
求解对流传热速率q 的关键是确定对流传热系数 h。h 与动量传递系数 CD 是的求解方法类似。
对流传热系数的求解途径（以平板为例）： y t0 近壁面的流体层速 度为零，则通过该流 u0 体层的传热为导热， t0 δt 其传热速率 q 为 ts 0
dt q kA dy
y 0
x
(1)
三、对流传热系数
一、平板壁面上层流传热的精确解
5.热边界层厚度
T
1.0 0.5
δt y t ts 99%
t t0
由图当
T*
ts t 0.99 t s t0
时
0
Pr1 3 5.0
u0 1/ 3 y Pr 5.0 x
-1/ 3
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Pr1 3
管道壁面的温度边界层
二、温度边界层（热边界层）
热边界层厚度的定义 （1）平板边界层厚度： （2）管内边界层的厚度：
δt y
t ts 99% t0 ts
x s
y u u
进口段区： 与平板相同； 汇合后：
u0 us
0.99
δt ri
三、对流传热系数
1. 对流传热的定义 固体壁面与流体之间的对流传热通量可用牛顿冷 却定律描述：
二、平板壁面上层流传热的近似解
1.温度边界层热流方程的推导 取一微元控制体 dV t dx(1) 作热量衡算： 1-2面：流入 质量流率：m1 0 ux dy(1) 热量流率：q1 0 ux c ptdy(1)
t
t
t0
2
3
δt
1 dx 4
二、平板壁面上层流传热的近似解



dp Pr p0 p 2 0 fd
p
Pr * T p0 [ exp( fd )d ] 2 0 0

代入B.C.（2）得
p0 [ exp(
0
dT Pr p p0 exp( fd ) d 2 0
*

Pr fd )d ]1 2 0
2-3面：流入 t0
2
t
3
质量流率：
m3 m2 m1 [ ux dy (1)]dx x 0
热量流率：
δt
1 dx 4
t q3 m3c pt0 c pt0 [ ux dy (1)]dx x 0
二、平板壁面上层流传热的近似解
1-4面（壁面）：导入 m4=0 热量以导热方式输入控制 体，根据傅立叶定律，热流 速率为
y 0
二、平板壁面上层流传热的近似解
2.平板壁面上层流传热的近似解 考察平板壁面上速度边界层与 温度边界层不同时发展的情形。
d Pr1 3
0
0.5
dT * 0.332 Pr 1/ 3 d 0
hx 0.332 u0 1 3 Pr vx
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Pr1 3 k 1/ 2 1/ 3 hx 0.332 Rex Pr x
0
Rex 5 105 适用条件：Pr=0.6~15，

Pr hx x 12 Nux Rex exp 2 fd d k 0 0

1
Rex 5 105 适用条件：所有Pr，
一、平板壁面上层流传热的精确解
对于范围 Pr = 0.6~15内的层流流动，可以简化： 由图 1.0 * dT 0.332 T 0.332
t0
δt
0 ts
δ
x 0 x0
t0
δt
ts
δ
x
（a） （b） 流体在平板壁面上流过时速度边界层与温度边界层的发展
一、平板壁面上层流传热的精确解
1.平壁上层流传热边界层的变化方程 普兰德边 界层方程
u x u x μ u x ux uy x y ρ y 2
2
u x u y 0 x y 能量方程化简： 2t 2t t t ux uy α 2 2 x y x y
稳态下，该热量以对流方式传入流体中，即
q hA(ts t0 )
式（1）与（2）联立，得 k dt h y 0 t0 t s dy h
dt 壁面处温度梯度 dy
y 0
(2)
温度分布t = t (x,y,z) 解运动方程
解能量方程
速度分布
注意：以上路线仅适合于层流传热。
三、对流传热系数
15
Pr=1
0.6

一、平板壁面上层流传热的精确解
t ts 3.局部对流传热系数 d( ) t0 t s k dt hx | y 0 k t0 ts dy dy
u0 dT * T * y vx d
y 0
dT * k dy

y 0
1
dT d

*
0
Pr exp 2 fd d 0 0
y
u0
t0 ts
u0
t0
u f (y) t f (y)
t
x
平板壁面的温度边界层
二、温度边界层（热边界层）
当流体以 u0、t0 流进管道，在进口 附近形成温度边界 层，其形成过程与 速度边界层类似。
传热进口 段长度
进口 段 传热
充分发展 的传热
u0 t0
t
Lf Lt
t ri
t 5.0
x
u0
Pr
5.0 xRe
1/ 2 x
Pr
-1/ 3
Pr