Bx By Bz
=ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx)
第一章 矢量分析
三、矢量函数的导数与积分
矢量函数一般是空间坐标的函数，有时它也是时 间的函数。
1、矢量函数：若A的每个分量都是变量t 的函数，则
称A是变量t 的矢量函数。
2、矢量函数的导数：若极限 limA(tt)-A(t) 存在，则
第一章 矢量分析
C
en O eB
eA
B
A
(a)
C＝ A× B
B A
(b)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋
(a) 矢量积
(b) 右手螺旋
第一章 矢量分析
矢量积又称为叉乘(Cross Product)，如果两个 不为零的矢量的叉乘等于零，则这两个矢量 必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量 的叉乘一定等于零。矢量的叉积不服从交换 律，但服从分配律，即
2） 矢量积（矢量的叉乘） 任 意 两 个 矢 量 A 与 B 的 矢 量 积 （ Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于两 个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其 方向垂直于矢量A与B组成的平面， 如图1-3 所示，记为 C=A×B=enAB sinθ en=eA×eB （右手螺旋）
坐标变量: x, ye,zx ey ez ey ez
e z exx ey
变量取值范围: y z
单位矢量： （ex, ey, ez ）
任一矢量可表示为：F e xF x e yF y e zF z
位置矢量： rexxeyyezz
d r exd x eyd y ezd z
第一章 矢量分析 面积元： dSx dydz dSy dxdz dSz dxdy
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
1.1 1.2 1.3 1.4 矢量场的通量 1.5 矢量场的环流 1.6 亥姆霍兹定理
第一章 矢量分析
1.1 场的概念和表示法
一、场的概念：
1、场的定义：如果在全部空间或部分空间的每一点，都 对应着某个物理量的一个确定值，就说在这空间里确定 了该物理量的场。 物理系统中某物理量在该区域的一种分布。
A e x A x e y A y e z A z B e x B x e y B y e zB z
A B e x ( A x B x ) e y ( A y B y ) e z ( A z + B z )
A B e x ( A x B x ) e y ( A y B y ) e z ( A z B z )
第一章 矢量分析
矢量的表示方式
矢量可表示为：A AeA 其中
A 为其模值，表征矢量的大小；
eA
A A
为其单位矢量，表征矢量的方向；
注：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 E 。教
材上符号即为印刷体。
第一章 矢量分析
一个矢量场在具体坐标系中可以分解为三个分量场。
例如：在直角坐标系中，
A(x, y, z) ex Ax (x, y, z) ey Ay (x, y, z) ez Az (x, y, z)
ex
Ax x
Ax
ex x
ey
Ay x
Ay
ey x
ez
Az x
Az
ez x
ex
Ax x
ey
Ay x
ez
Az x
矢量函数的积分包括不定积分和定积分两种，它们和一般函
数的积分在形式上类似，所以一般函数积分的基本法则对
矢量函数积分也适用。
第一章 矢量分析
1.2 三种常用的正交坐标系
1.2.1 直角坐标系
x, y,z
其中，Ax(x,y,z) 、Ay(x, y,z)、Az(x,y,z)都是标量场
所以，一个矢量场对应三个标量场
第一章 矢量分析
在直角坐标系中，用单位矢量 e x 、e y 、e z 表征矢量
分别沿x、y、 z轴分量的方向。
空间的一点A(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直 的轴线上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。
A+B
A
A-B
B
第一章 矢量分析
1.1.3矢量的乘积
矢量的乘积包括标量积和矢量积。
B
1） 标量积（矢量的点乘）
任意两个矢量A与B的标量积
(Scalar Product)是一个标量，
它等于两个矢量的大小与它
们夹角的余弦之乘积，如图 1-2所示， 记为
Bcos
A
A·B=AB cosθ
图1-2 标量积
t0
t
称它为矢量函数A=A（t）的导数，记为：
d d A tdA d x t(t)ex+dA d y t(t)ey+dA d z t(t)ez
第一章 矢量分析
在我们以后研究的有关内容中必将涉及到矢量函数随空 间坐标和时间的变化率问题，既对上述变量的偏导数问题
Ax x(exAx eyAy ezAz)
A×B= -B×A A×(B+C)=A×B+A×C
第一章 矢量分析
直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：
ex×ey=ez, ey×ez=ex, ez×ex=ey ex×ex=ey×ey=ez×以表示为
ex
ey
X
ex ey ez
A B Ax Ay Az
第一章 矢量分析
例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关 系式：
ex·ey=ey·ez= ex·ez=0 ex·ex=ey·ey=ez·ez=1 任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量 表示为
A·B=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从交换律和分配律，即
A·B=B·A
A·(B+C)=A·B+A·C
第一章 矢量分析
2、标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强）
第一章 矢量分析
3、场的分类 按物理量的性质分：
标量场：被描述的物理量是标量，用一个标量函数
(x,y,z)来描述
矢量场：被描A(述x,y的,z物)来理描量述是矢量，用一个矢量函数
按场量与时间的关系分： 静态场：场量不随时间发生变化的场。 动态场：场量随时间的变化而变化的场。 动态场也称为时变场。
r 从原点指向点A的矢量 称为位置矢量
(Position Vector)，它在直角坐标系中表示为
rexX +eyY +ezZ
第一章 矢量分析
zZ ez
ex
O ey
X
A(X,Y,Z)
y Y
x
图1-1 直角坐标系中一点的投影
第一章 矢量分析
二、矢量的加法和减法
矢量加、减符合平行四边形法则 ； 矢量的加减法：是两矢量对应坐标分量之和，矢量加 法的结果仍是矢量