一般地 如果某个衍射角θ 被划分为奇数个 如果某个衍射角 能使波面 AB 被划分为奇数个 半波带，各个波带两两相消后，总要剩下一个半波带 半波带，各个波带两两相消后， 点没有被抵消， 的光在 P 点没有被抵消，因而在这个衍射角的方向上 出现明纹 明纹。 出现明纹。 即
a sinθ = ±(2k +1)
-1.43π
+2.46π
± ± 解得 :u = ±1.43π ， 2.46π ， 3.47π ，…
相应 :a sin θ = ±1.43λ , ± 2.46λ , ± 3.47λ , …
极大位置： 极大位置： u = 0, ±1.43π , ±2.46π , ±3.47π ⋯ 各级明纹的光强比为： 各级明纹的光强比为： I 0 : I1 : I 2 : I 3 = 1 : 0.047 : 0.017 : 0.0083 可见单缝衍射光强集中在中央零级明条纹处。 可见单缝衍射光强集中在中央零级明条纹处。 1 I / I0 相对光强曲线
I =0
各级极小
这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。 这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
次极大位置： (3) 次极大位置： 2 sin u 满足 d I = 0 → tanu = u I = I0 du u2
y
y1 = tanu
·
-2π -π
·
2π
y2 = u
·0
π
u
·
-2.46π
·
0
+1.43π
θ1 = arcsin
λ 一定
a 一定，λ越大， 1越大，衍射效应越明显. 一定， 越大， 越大，衍射效应越明显. θ
a 增大， 1减小 → 0, θ1 → 0 增大， θ a π a 减小， 1增大 a →λ, θ1 → 减小， θ 2
光直线传播 衍射最大
（2）条纹宽度（相邻条纹间距） ）条纹宽度（相邻条纹间距） 中央明纹 角范围 − < sin θ1 < a a 线范围 −
A
A1
θ
P
B
C
a sinθ
Ｏ
波面上A 两处子波源发出的光线到达P 波面上 、B两处子波源发出的光线到达 点的 两处子波源发出的光线到达 光程差： 光程差： BC = asinθ 如果衍射角θ 如果衍射角 满足
2 可将波阵面AB划分为 个半波带AA 划分为2个半波带 可将波阵面 划分为 个半波带 1、A1B
6 × 10 = 2 × 0.4 × ∆x = 2 f ⋅ −3 0.6 × 10 a
λ
−7
= 0.8 × 10 m = 0.8mm
−3
2） ）
2 x sin θ ≈ tan θ ≈ θ = f
a sin θ = (2k + 1)
λ
ax 1 k= − =3 λf 2
所以p点所在的位置为第三级明纹。 所以 点所在的位置为第三级明纹。 点所在的位置为第三级明纹 最大光程差为： 当k = 3 时，最大光程差为：
a sinθ = 2⋅
λ
衍射角
A
A1
θ
P
B
C
a sinθ = λ
Ｏ
相邻半波带对应点A、 发出的光线到达P点 相邻半波带对应点 、A1发出的光线到达 点 的光程差为λ/2，相位差为π。 的光程差为 ，相位差为 。相邻两半波带上各对 应点发出的子波到达点P处的光振动相互抵消。 应点发出的子波到达点 处的光振动相互抵消。 点处为暗纹 则P点处为暗纹。 点处为暗纹。
越大， 越大，衍射效应越明显. λ 越大，θ1越大，衍射效应越明显.
L
A
P0
中央明纹
B
2λ l0 = 2 x1 ≈ f a
中央明纹的宽度
除了中央明纹外的其 它明纹、暗纹的宽度： 它明纹、暗纹的宽度：
l = xk +1 − xk =
λ
a
f
上式说明，其他各级明纹为等间隔分布， 上式说明，其他各级明纹为等间隔分布，而中央明 纹的宽度是其他明纹宽度的两倍。 纹的宽度是其他明纹宽度的两倍。
当 θ = 0 时，
sin u I = I 0 lim = I 0 = I max u →0 u 中央极大
2
sin2 u I = I0 2 u
其中
π a sinθ u= λ
极小（暗纹）位置： (2) 极小（暗纹）位置： 当a sinθ = ±kλ , k = 1,2,⋯ 时，
a sin θ = (2k + 1)
λ
2
= 7⋅
λ
2
个半波带。 狭缝处波阵面可分成 7 个半波带。
如果衍射角θ 如果衍射角 满足
衍射角 θ A
a sinθ = 3⋅
λ
2
P
a
缝长
A1 A2
B
Ｏ
C
λ
2
可将波阵面AB划分为 个半波带 可将波阵面 划分为3个半波带 1 、A1A2 、A2B 划分为 个半波带AA 相邻半波带AA 相邻半波带 1 、A1A2（或A1A2 、A2B）的衍 ） 射光在P 点相消。 射光在 点相消。 剩下的一个半波带的衍射光在P点处相干叠加产生亮纹. 剩下的一个半波带的衍射光在 点处相干叠加产生亮纹. 点处相干叠加产生亮纹
19.2 单缝夫琅禾费衍射
1、单缝衍射实验装置
L 1
K
L2
S
*
用菲涅耳半波带法解释单缝衍射现象 用菲涅耳半波带法解释单缝衍射现象 半波带法
2、菲涅耳半波带法(Fresnel halfwave zone construction)
夫 琅 禾 费 单
K
L
衍射角
f
Q
P
P0
A
a
θ
B
C
asinθ
向上为正， （衍射角 θ ：向上为正，向下为负 .） 将衍射光束分成一组一组的平行光， 将衍射光束分成一组一组的平行光，每组平行光 的衍射角相同。 的衍射角相同。 BC = asinθ
0.017 0.047
−2
0.047 0.017 0
λHale Waihona Puke a 2λa
−
λ
a
λ
a
sinθ
1 I / I0 相对光强曲线
L
f
P
P 0
A
a
θ
C
asinθ
B
0.017 0.047
−2
0.047 0.017 0
λ
a
2
λ
a
−
λ
a
λ
a
sinθ
增加时， 当θ增加时，为什么光强的极大值迅速衰减？ 增加时 为什么光强的极大值迅速衰减？ 增加时， 当θ增加时，半波带数增加，未被抵消的半波 增加时 半波带数增加， 带面积减少，所以光强变小； 带面积减少，所以光强变小；
考察衍射角θ 考察衍射角 = 0 的一束平行光
L
A
P0
中央明纹
B
经透镜后同相位地到达P 所以P 经透镜后同相位地到达 0点，所以 0点振幅为 各分振动振幅之和，合振幅最大，光强最强，这是 各分振动振幅之和，合振幅最大，光强最强， 中央明纹。 单缝衍射的中央明纹 单缝衍射的中央明纹。
衍射角θ 不为零的一束平行光经透镜会聚于屏上P 点 衍射角 不为零的一束平行光经透镜会聚于屏上 衍射角
λ
λ
R
θ1
L
θ1 θ1
p
x1
λ
a
f < x1 <
λ
a
a
f
f
− x1
o
l0
中央明纹的宽度 中央明纹的角宽度 中央明纹半角宽度
2λ l0 = 2 x1 ≈ f a 2λ 2θ1 = a
θ1 = λ / a
单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？ 单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
入射波长变化，衍射效应如何变化? 入射波长变化，衍射效应如何变化?
ϕ
a
D
A
C
θ
B
δ = BC − DA
= a (sin θ − sin ϕ )
（中央明纹向上移动） 中央明纹向上移动） 向上移动
D
A
C
θ
a
ϕ
B
4、光强分布 在夫琅禾费衍射条件下对菲涅耳积分严格推导可得
sin u I = I0 2 u
讨论
2
其中
π a sinθ u= λ
主极大（中央明纹中心）位置： (1) 主极大（中央明纹中心）位置：
± kλ λ a sin θ = ± (2k + 1) 2 0
( k = 1, 2,⋯) 暗纹 ( k = 1, 2,⋯) 明纹
中央明纹
K
L
衍射角
f
Q
P
P0
A
a
θ
中央明纹
B
C
asinθ
（1）条纹位置 ）
S
L1
a
R
θ
L2
Q
x
P
θ
f
O
x
P点的坐标为 点的坐标为 较小时， 当 θ 较小时， 明纹中心坐标： 明纹中心坐标： 中心坐标
x = ±(2k + 1)
x = f ta n θ tan θ ≈ sin θ ≈ θ fλ
2a
k = 1, 2,3,⋯
fλ 暗纹中心坐标 中心坐标： 暗纹中心坐标： x = ±2k 2a
k = 1, 2,3,⋯
第一暗纹距中心的距离
R
a
θ1
L
p
f
x1 = θ 1 f =
λ
a
λ
a
f
o
λ