常微分方程学习活动6-第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习WORD版常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y)(d d x x=，nR Y ∈的任一非零解在1+n R 空间 不能 与x 轴相交．2．方程组nx x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线．3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0．4．线性齐次微分方程组nx x xR Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于 n+1 个． 5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上 恒等于 ．6．函数组⎩⎨⎧==xyx ycos sin 21的朗斯基行列式)(x W 是xx x x x W sin cos cos sin )(-=7．二阶方程2=+'+''y x y x y 的等价方程组是⎪⎩⎪⎨⎧--='='yx xy y y y 2111 ．8．若)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有 共同零点．9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关 ．10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个．11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上 可以 与x 轴横截相交．12．二阶线性方程20y y y '''++=的基本解组是e ,e x xx -- ．13．线性方程y y ''+=的基本解组是cos ,sin x x．14．方程02=+'+''y x y x y 的所有解构成一个2 维线性空间．15．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．二、计算题1．将下列方程式化为一阶方程组（1）0)()(=++x g x x f x &&&（2）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y1） 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==)()(d d d d x g y x f ty y t x， （2）解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---===0312212211)()()(d d d d d d y x a y x a y x a x y y x y y x y2．求解下列方程组： （1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=x y ty x y t x54d d 45d d （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x ty y x t xαββαd d d d（1） 解 方程组的系数阵为54A ⎡=⎢⎣45⎤⎥⎦特征方程为：det(A-λE)=54λ-45λ-=(1)(9)0λλ--=， 其特征根为 121,9λλ==.当11λ=时,11t y a e z b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 其中a , b 满足(A-λE)a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=44⎡⎢⎣44⎤⎥⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 0,则有a + b = 0． 取a = 1, b =-1, 则得一特解1111t y e z ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦同理,当29λ=时，29211t y e z ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以方程组的解为9129()()t t t t y t e e C C z t e e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）解 方程组的系数阵为A αβ⎡=⎢-⎣ βα⎤⎥⎦.特征方程为: det(A-λE)=αλβ-- βαλ-=22()λαβ-+=特征根为λαβ=±i.当1i λαβ=+时,11ix a ey b αβ+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中a , b 满足 (A-λE)a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=iββ-⎡⎢-⎣i ββ⎤⎥-⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0,故有0ai b a bi -+=⎧⎨--=⎩即 b ai=.取1,a b i ==，于是方程组对应于*1*11i x e i y αβ+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=cos sin sin cos tt i t et i t αββββ+⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦故特征根i λαβ=±所对应的实解为11x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=cos sin tt e t αββ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,22x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=sin cos tt e t αββ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以方程组的解为()()x t y t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=cos sin ttet αββ⎡⎢-⎣sin cos t t ββ⎤⎥⎦12C C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．求解下列方程组： （1）⎩⎨⎧-=+=x y yy x x 23&& （2）⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=+-=zy x zz y x y z y x x222&&&（1）解 方程组的系数阵为 12A ⎡=⎢-⎣ 13⎤⎥⎦. 特征方程为: det(A-λE)= 12λ--13λ-=2450λλ-+=特征根为122,2λλ=+=-i i当12i λ=+时,1(2)1i tx a ey b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中a , b 满足(11i-⎡⎢-⎣11i ⎤⎥-⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 0,即(1)0(1)0i a b a i b --+=⎧⎨-+-=⎩第一个方程(1)x i -有2(1)0a i b -++= 令1a =，则1b i =+ 于是由2()1(cos sin )()1t x t e t i t y t i ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦解得通解()()x t y t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2cos cos sin ttet t ⎡⎢-⎣sin cos sin t t t ⎤⎥+⎦12C C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2） 解 系数阵为211121112A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程为:det(A-λE)=211λ-121λ---112λ--=(1)(2)(3)0λλλ---=.特征根为1231,2,3λλλ===.通解解为 23122233()0()0()t t t t ttt c x t e e y t e e c z t e e e c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.4．求解下列方程组： （1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y ty y x t x3d d 3d d （2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2e 2t x yy xt &&（1）解 方程组的系数阵为30A ⎡=⎢⎣ 13⎤⎥⎦，其特征方程为：det(A-λE)=30λ-13λ-=2(3)λ-=.特征根为 123λλ==, 方程组有如下形式的解:31112()tx rr t e =+32122()ty r r t e =+代入原方程组有33331112121112212233321222221223()3()()3()3()t t t tt t t r r t e r e r r t e r r t e r r t e r e r r t e⎧++=+++⎪⎨++=+⎪⎩消去3te 得122122220r r r t r =+⎧⎨=⎩令12211rr == 110r =, 则3tx te = 3t y e = 令12210rr ==111r =, 则3tx e =y =所以方程组的解为33123()()0t t t x t te e C C y t e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）解 首先求出相应齐次线性方程组的通解.对应齐次方程的系数阵为01A ⎡=⎢⎣10⎤⎥⎦.其特征方程为： det(A-λE)=1λ-1λ-=(1)(1)0λλ-+=. 特征根为 121,1λλ==-当11λ=时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a y x t e 11，其中a , b 满足(A-λE)a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11-⎡⎢⎣11⎤⎥-⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0, 则有a -b = 0取a = b =1, 则得一特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11e 11ty x同理,当21λ=-时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11e22ty x所以对应齐次线性方程组的通解为12()()t t t t x t e e c c y t e e --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解. 将1212()()()()()()t tt x t c t e c t e y t c t e c t e -⎧=+⎪⎨=-⎪⎩代入原方程组，得21222()12()2t t t c t t e c t e t e -'⎧=+⎪⎨'=-⎪⎩解得212221()21()[2()]2---⎧=---⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩t t t t t t t c t t t e te e c t e e t te e .原方程组的特解为2122221()()2()()1[2()]2122.122-------⎡⎤---⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦t t t tt tt t t tt t t t t t t t t t t e te e c t x t e e e e y t c t ee e e e e t te e te t e te e t所以原方程组的通解为21212()2.()122--⎡⎤-+-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎣⎦t t tt t t t tte t e c x t e e y t c ee te e t5．已知方程011)ln 1(2=-'+''-y xy x y x 的一个解xyln 1=，求其通解．解 由通解公式*()11211p x dx y c y cy e dx y -=+⎰，11ln ,()(1ln )y x p x x x ==-，1()**(1ln )111221*111212211[](ln )ln 1[]()ln (ln )ln dx p x dx x x y c y cy e dx y c c e dx y x x xy c c dx y c c c x c x x x---⎰⎰=+=+-=+=+=+⎰⎰⎰6．试求下列n 阶常系数线性齐次方程的通解 （1）0209=+'+''y y y （2）0)4(=+y y （1） 解 特征方程为:29200λλ++=特征根为:124,5λλ=-=-。