高阶线性微分方程
的特解. (非齐次方程解的叠加原理) 上述均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
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例. 设线性无关函数
都是二阶非齐次线
性方程 y P(x) y Q(x) y f (x)的解, C1,C2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
(B) C1y1 C2 y2 (C1 C2 ) y3; (C) C1y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3;
x C1x1(t) C2x2 (t)
数) 是该方程的通解.
例如, 方程 x x 0 有特解 x1 cost, x2 sin t, 且
x2 tan t 常数, 故方程的通解为
x1
x C1 cost C2 sin t
若 x1, x2, , xn 是 n 阶齐次方程
使得
k1x1(t) k2x2 (t) knxn (t) 0, t I
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，1 , cos2 t , sin 2 t ,在( , )上都有
1 cos2 t sin 2 t 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
( x * p(t)x * q(t)x *) ( X p(t)X q(t)X )
f (t) 0 f (t)
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例如, 方程 y y x 有特解 对应齐次方程 y y 0 有通解
Y C1 cos x C2 sin x
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
k1x1(t) k2x2 (t) 0
x1(t) k2 k ( 无妨设
x2 (t) k1
k1 0 )
x1 (t ) x2 (t)
常数
x1(t) x2 (t) 0 x1(t) x2 (t)
结论：
若 x1(t), x2(t) 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则
二、线性齐次方程解的结构
若函数 x1(t), x2 (t) 是二阶线性齐次方程
x p(t)x q(t)x 0
的两个解, 则 x C1x1(t) C2x2 (t)
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 x C1x1(t) C2x2 (t) 代入方程左边, 得
[ C1x1 C2x2 ] P(t)[ C1x1 C2x2 ] Q(t)[C1x1 C2 x2]
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四.二阶常系数线性齐次微分方程:
x a1x a2x 0
令方程的解为 x et (待定）
代入得 (2 a1 a2 ) et 0 2 a1 a2 0
称为微分方程的特征方程, 其根称为特征根.
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第七章 高阶线性微分方程
一.二阶线性微分方程举例
例. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 设时刻 t 物位移为 x(t).
x(n) a1(t)x(n1) an1(t)x an (t)x 0
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
x C1x1 Cn xn (Ck为任意常数)
三、线性非齐次方程解的结构
设 x*(t) 是二阶非齐次方程
x p(t)x q(t)x f (t)
x1(t) x2 (t) xn (t)
x1(t) x2 (t) xn (t)
w(t0 )
0
x1(n1) (t)
x ( n 1) 2
(t
)
x ( n 1) n
(t
)
t t0
t0 I
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
x1(t), x2 (t) 线性相关
方程的通解为 x C1 e1t C2 e2 t
2.当特征方程有两个相等实根
1
2
a1 2
,
方程的通解为 x ( C1 C2t ) e1t
3.当 特征方程有一对共轭复根1 i , 2 i
方程的通解为 x e t (C1 cos t C2 sin t)
m
d2x dt2
2n
dx dt
k
2x
h sin
pt
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具有如下形式的方程:
x p(t)x q(t)x f (t), 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
x(n) a1(t)x(n1) an1(t)x an (t)x f (t)
因此原方程的通解为
2. 当 a12 4 a2 0 时, 特征方程有两个相等实根
1
2
a1 2
,
则微分方程有一个特解
x1
e1 t .
设另一特解 x2 x1u (t) e1tu (t) ( u (t) 待定)
代入方程得:
e1 t [ ( u 2 1u 12u )a1(u 1u )a2 u 0
C1 [ x1 p(t)x1 q(t)x1]
C2 [ x2 p(t)x2 q(t)x2 ] 0
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说明:
x C1x1(t) C2x2 (t) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, x1(t) 是某二阶齐次方程的解, 则 x2 (t) 2 x1(t)也是齐次方程的解
因此该方程的通解为
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设 xk(t) (k 1, 2, , n) 分别是方程
x P(t)x Q(t)x fk (t) (k 1, 2, , n )
n
的特解, 则 x xk 是方程 k 1 n
x P(t)x Q(t)x fk (t) k 1
1. 当 a12 4 a2 0 时, 特征方程有两个相异实根1, 2,
则微分方程有两个线性无关的特解: x1 e1t , x2 e2 t , 因此方程的通解为 x C1 e1t C2 e2 t
例. 求方程 y 2 y 3 y 0的通解.
解: 特征方程 2 2 3 0, 特征根: 1 1, 2 3 ,
解: 特征方程: 2 1 0 即 2 1 0
特征根为 1, 2 i,
则方程通解 :
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二阶常系数齐次线性微分方程:
x a1x a2x 0
2 a1 a2 0
称为微分方程的特征方程, 其根称为特征根.
1.当特征方程有两个相异实根1, 2,
d2s dt2
2
d d
s t
s
0
s t0 4 ,
ds dt
t
0 2
解: 特征方程 2 2 1 0 有重根 1 2 1 ,
因此原方程的通解为 s (C1 C2 t ) e t
利用初始条件得
C1 4, C2 2
于是所求初值问题的解为
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利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
x1
1 2
( x1
x2 )
e t
cos
t
x2
1 2i
( x1
x2 )
e
t
sin
t
因此原方程的通解为
x e t (C1 cos t C2 sin t)
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例. 解方程 y y 0 .
的一个特解, X (t) 是相应齐次方程的通解, 则
x X (t) x *(t)
是非齐次方程的通解 . 这是因为 ：
x X (t) x *(t) 代入方程, 得
X (t) x * (t) P(t) (X (t) x * (t)) Q(t) (X (t) x*(t))
推广:
x(n) a1 x(n1) an1x an x 0 ( ak 均为常数) 特征方程: n a1 n1 an1 an 0
若特征方程含 k 重实根 λ, 则其通解中必含对应项
( C1 C2t Ck 考研 )
y1 y3, y2 y3 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证)
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例. 已知微分方程 y p(x) y q(x) y f (x) 有三 个解 y1 x , y2 ex , y3 e2x , 求此方程满足初始条件 y(0) 1, y(0) 3 的特解 .
u ( 2 1 a1 ) u ( 12 a1 1 a2 ) u 0
注意 1 是特征方程的重根
u 0
取 u = t , 则得 x2 t e1t , 因此原方程的通解为
x ( C1 C2t ) e1t
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例. 求解初值问题
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有:
o
弹性恢复力
(虎克定律)
x
阻力
x
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据牛顿第二定律得
令 2 n , k 2 c , 则得有阻尼自由振动方程:
