1 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ，试对 1001 和 10111 进行算术编码。 ⎣1 / 4 3 / 4⎦
子区长度 3/4 3/4*1/4=3/16 3/16*1/4=3/64 3/64*3/4=9/256
子区左端 1/4 1/4+0*3/4=1/4 1/4+0*3/16=1/4 1/4+1/4*3/64=67/256
⎡1 ⎤ 1 L 1 ⎢ ⎥ − j 2π − j 2π ( N −1) ⎥ ⎢ e N L e N ⎢1 ⎥ ( NP )−1 = ⎢ ⎥ M M M M ⎢ ⎥ 2 π 2 π 2 ⎢ − j ( N −1) − j ( N −1) ⎥ ⎢1 e N ⎥ L e N ⎣ ⎦ 当N =4时
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⎡1 ⎢0 H =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎡2 ⎢0 H =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 0 0
0 −1⎤ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎦
⎡ 2 −1 + i ⎢0 0 F =⎢ ⎢0 0 ⎢ 0 ⎣0
⎡ 2 −2 ⎢0 0 W =⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0
0 −2 0 ⎤ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦
第四章 4.1 阐述哈夫曼编码和香农编码方法的理论依据，并扼要证明之。 答：哈夫曼编码依据的是可变长度最佳编码定理：在变长编码中，对出现概率大的信息符号 赋予短码字， 而对出现概率小的信息符号赋予长码字。 如果码字长度严格按照所对应符号出 现概率大小逆序排列，则编码结果平均码字长度一定小于其它排列方式。 香农编码依据是：可变长度最佳编码的平均码字长度。 证明：变长最佳编码定理 课本 88 页，第 1 行到第 12 行 变长最佳编码的平均码字长度 课本 88 页，第 14 行到第 22 行 4.2 设某一幅图像共有 8 个灰度级，各灰度级出现的概率分别为 P 1 =0.50;P 2 =0.01;P 3 =0.03;P 4 =0.05; P 5 =0.05;P 6 =0.07;P 7 =0.19;P 8 =0.10 试对此图像进行哈夫曼编码和香农编码，并计算比较两种编码方法的效率。 解：哈夫曼编码 概率 P 1 =0.50 1 P 7 =0.19 01 0. 19 01 0. 19 01 0. 19 01 0. 19 01 0. 31 00 0. 50 0 第1步 0.50 1 第2步 0.50 1 第3步 0. 50 1 第4步 0. 50 1 第5步 0. 50 1 第6步 0. 50 1
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张锦
第二章 （2.1、2.2 略） 2.4 图像逼真度就是描述被评价图像与标准图像的偏离程度。 图像的可懂度就是表示它能向人或机器提供信息的能力。
J K
∑∑ [ f ( j, k ) − f ( j, k )]2
NMSE =
j =1 k =1 J K
⎡ 2 −1 − i ⎢ 0 1 ⎢0 F= 0 2 ⎢0 ⎢ 0 ⎣0
(2)
0 −1 + i ⎤ 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎦ 0 −1 − i ⎤ 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎦
⎡1 ⎢0 W =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 0 0
0 −1⎤ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎦ 0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎦
0. 10 0000 0. 09 0001 0. 07 0010 0. 05 0011
0. 12 001 0. 10 0000 0. 09 0001
0. 19 000 0. 12 001
0. 19 01
H=-
∑ P log
i i =1
2
Pi
0.50+0.19log 0.19+0.10log 0.10+0.07log 0.07+2 × 0.05 ×
F = P⋅ f ⋅P
P −1( P ⋅ f ⋅ P ) P −1 = f = P ' FP ' = P −1FP −1
3.4 以 3.3 题的 DFT 矩阵表达式求下列数字图像的 DFT: 解：(1) 当 N=4 时
⎡1 1 1 1 ⎤ ⎡ 2 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎢1 −i −1 i ⎥ ⎢ 0 F= ⋅ 16 ⎢1 −1 1 −1⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢1 i −1 −i ⎦ ⎥ ⎣ ⎢0 ⎣
11011 11101 111101 1111110
R=
∑ Ptபைடு நூலகம்
i =1
i i
=0.5+0.19×3+0.10×4+0.02×4+2×0.05×5+0.03×6+0.01×7 =2.5 η =H/R=2.21/2.5=88.4% 可见，哈夫曼编码效率高一些。
4.3 已知信源 X= ⎢ 解： （ 1） 符号 1 0 0 1
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张锦
P 8 =0.10 0000 P 6 =0.07 0010 P 4 =0.05 0011 P 5 =0.05 00010 P 3 =0.03 000110 P 2 =0.01 000111
8
0. 10 0000 0. 07 0010 0. 05 0011 0. 05 00010 0. 04 00011
=-(0.50log
2
2
2
2
log 2 0.05+0.03log 2 0.03+0.01log 2 0.01) =2.21
8
R=
∑β P
i i =1
i
=0.5+0.19×2+0.1×4+0.07×4+0.05×4+0.05×5+0.03×6+0.01×6 =2.25 η =H/R=2.21/2.25=98.2% 香农编码 概率 计 ti P 1 =0.50 P 7 =0.19 P 8 =0.10 P 6 =0.07 1 3 4 4 0 0.5 0.69 0.79 算 计算 α i 由十进制变为二进 制 0 1000 101100 110010 码字
2
∧
=
∑∑ [ f ( j, k )]
j =1 k =1
1 9
2.5
∆{L , L } = log B ( y + ∆y ) − log B y = log B 60 − log B 20 = log B 3 1 2 ∆{L , L } = log B 100 − log B 50 = log B 2 1 2 ∆1 > ∆ 2
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⎡1 1 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ 1 −i −1 i ⎥ ⎢ P= ⎢1 −1 1 −1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 i −1 −i ⎥ ⎦
⎡1 1 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ 1 i −1 −i ⎥ − 1 ⎢ P = ⎢1 −1 1 −1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 −i −1 i ⎥ ⎦ ∴ P' = P −1
3.5 解：
0 0 0 ⎤ ⎡1 1 1 1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 2⎥ ⎢1 −i −1 i ⎥ ⋅ 2 2 2 ⎥ ⎢1 −1 1 −1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0⎥ ⎦ ⎢ ⎣1 i −i −i ⎥ ⎦
N = 8, n = 3 g (4,5) = b (4)b (5) 1 1 2 1 2−i = (−1)0×1+0×0+1×1 = − ∏ (−1) i 8 i =0 8 8 b (3)b (6) 1 1 2 1 2−i g (3, 6) = ∏ (−1) i = (−1)0×0+1×1+1×1 = 8 i =0 8 8
3.6 解：
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张锦
2
∑ bi (6) pi (5) 1 1 H (6,5) = (−1) i=0 =− 8 8
2
∑ bi (1) pi (7) 1 1 H (1, 7) = ( −1) i=0 =− 8 8
3.11 求下列离散图像信号的二维 DFT , DWT,DHT 解： （1）
E sin(2πua) sin( 2πvb) π 2 uv
（b） 由（a）的结果可得：
F (u , v ) = E ⋅ 2a ⋅ 2a ⋅ sinc ( 2π au ) ⋅ sinc ( 2π av ) = 2 Ea 2 ⋅ sinc ( 2π au ) ⋅ sinc ( 2π av)
根据旋转不变性可得：
r ,θ
= ∫∫ E exp[− j 2πr (u cos θ + v sin θ )]rdθdr
r ,θ
= ∫∫ E exp[− j 2πrρ (cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ )]rdrdθ
r ,θ
= ∫∫ E exp[− j 2πr cos(θ − ϕ )]rdrdθ
r ,θ
0 100 1011 1100
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张锦
P 4 =0.05 P 5 =0.05 P 3 =0.03 P 2 =0.01
8
5 5 6 7
0.86 0.91 0.96 0.99
110010 1110100 1110100 1111110
最后子区左端 C=（67/256） d =（0.01000011） b 最后子区长度 L=（9/256） d =（0.00001001） b 最后子区右端=67/256+9/256=（76/256） d =（0.010011） b 编码结果=0.01001 可编码为 01001 （2） 符号 1 0 1 1 1 子区左端 1/4 1/4+0*3/4=1/4 1/4+1/4*3/16=19/64 19/64+1/4*9/64=85/256 85/256+1/4*27/256=367/1024 子区长度 3/4 3/4*1/4=3/16 3/16*3/4=9/64 9/64*3/4=27/256 27/256*3/4=81/1024