因出入道存车量为 认为合适，否则认为不 6 辆，如果超出 合适。 6 辆的概率很小时（一般 认为小于 5 % ），则
800 8辆 1 900 800
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q n 8 0 . 89 7 . 11 辆 qw 1 1 9 . 09 辆 1 1 0.89 d n 8 h / 辆 36s / 辆 800 1 w d 36 4 32s / 辆
w d
例 1 某条道路上设计一观测 所有车辆到达该点要求 汽车，符合负指数分布 非零排队平均长度，排 解：这是一个
统计点，车辆到达该点 停车领取 。试估计在该点上排队 队系统中的平均消耗时
是随机的，单向车流量 员平均能在 系统中的平均车辆，平 间以及排队中的平均等
为 800 辆 /h 。 4s 内处理一辆 均排队长度， 待时间。
OD 调查卡片，假设工作人
M / M / 1 排队系统。
800 （辆 / h ） 1 辆 / s 900 （辆 / h ） 4 800 0 . 89 1, 系统是稳定的 900
系统中的平均车辆数 平均排队长度 非零平均排队长度 系统中的平均消耗时间 排队中的平均等待时间 n
二、排队论的基本原理
1．基本概念 1) “排队”与“排队系统”的概念 “排队”—单指等待服务的，不包括正在被服务的； “排队系统”—既包括等待服务的，又包括正在被服务的车辆。
排队的车辆
排队系统 中的车辆
排队的 排队系统
8辆车 10辆车
2)排队系统的3个组成部分：
输入 排队 输出
(1)输入过程就是指各种类型的“顾客(车辆或行 人)”按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程， 例如： 定长输入：顾客等时距到达。 泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。这种 输入过程最容易处理，因而应用最广泛。 爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
为叙述方便，引用下列符号，令 M代表泊松分布输入或负指数分布服务； D代表定长分布输入或定长分布服务； Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排 队系统可以写成M/M/N； 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写 成M/D/1。 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先 服务，单个服务通道的等待制系统。
2 ) 在系统中有 n 个顾客的概率为 P ( n ) n (1 ) 3 )系统中的平均车辆数 n 1 4 )系统中的平均方差 2 (1 ) 2 5 ) 平均排队长度 q n 6 )非零平均排队长度 q w 7 )系统中的平均消耗时间 8 ) 排队中的平均等待时间 1 1 d n 1
例 2 今有一停车场，到达率 是否合适？ 解：这是一个
为 60 辆 / h ，服从泊松分布。停车
单一的出入车道可存车
场的服务能力为 6 辆，问该数量
为 100 辆 / h ，服从负指数分布。其
M / M / 1排队系统问题
60 辆 / h ， 100 辆 / h / 60 / 100 0 . 6 1，系统是稳定的。
3)排队系统的主要数量指标 最重要的数量指标有3个： (1)等待时间即从顾客到达时起到他开始接受服务 时止这段时间。 (2)忙期即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务 台的工作强度。 (3)队长（顾客数）有排队顾客数与排队系统中顾 客之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡 量。
三、M/M/1系统—单通道服务系统
2)排队系统的3个组成部分： (2)排队(规则)指到达的顾客按怎样的次序接受服 务。例如： 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该 顾客就自动消失，永不再来。 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他 们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服 务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、 消防车优先)等多种规则。 混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队 伍；若队伍长等于L，顾客就离去，永不再来。
2)排队系统的3个组成部分： (3)服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾客， 每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客， 也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。 服务时间的分布主要有如下几种： ①定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物品）； ②负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相 同的负指数分布(看病)； ③爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相 同的爱尔朗分布。
第四章 交通流理论
第三节 排队论的应用
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列 即排队的现象，以及合理协调需求与服务关系的一种数学理 论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随 机服务系统理论”。 典型的例子——食堂排队； 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工 程师爱尔朗首先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电 话机既能满足通话需求而又不致设线过多。第二次世界大战 以后，排队论在很多领域内被采用。在交通工程中，对于研 究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油站等 交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年亚当斯 （Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误 问题，1951年唐纳予以推广应用，1954年伊迪（ Edie ）应 用排队模型估计收费亭的延误。同年在摩斯柯维茨的报告中， 将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。
设顾客平均到达率为 服务后通过的平均服务 或交通强度，可以确定 1) 在系统中没有顾客的概
，则到达的平均时距为 1 / 。排队从单通道服务后
系统的状态。所谓状态 率为 P ( 0 ) 1 ，指的是排队系统的顾
通过接受 客数。
率为 ，则平均服务时间为 1 / 。比率 / 叫做服务强度