n 8 ,所以 xk
有
2）

2h
2 h
f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
由于需要确定 3 个 未知量，因此，需要给定 3 个方程。 设 f ( x) 1, x, x ，有
2
4h A1 A0 A1 0 hA1 hA1 16 h3 h 2 A1 h 2 A1 3
令 f ( x) x ，
4
h 8h 4h 8h 16 1 2h 64 5 (h) 4 04 h 4 h5 0 x 4 dx x5 h h 3 3 3 3 5 2 h 5 因此，具有 3 次代数精度。
有
3）
1
1
f ( x)dx [ f (1) 2 f ( x1 ) 3 f ( x2 )] / 3
解出 a
1 ，h 为任意常数 12
3
令 f ( x ) x ，有
h h h4 1 1 x3dx f ( x)dx h4 / 2 h4 h4 0 0 4 4 4
令 f ( x ) x ，有
4
h h h5 1 1 x 4 dx f ( x)dx h5 / 2 h5 h5 0 0 5 3 6
令 f ( x) x ，
3
1 1 1 4 x x3dx f ( x)dx 1 1 4 有 [ f (1) 2 f (-0.6899) 3 f (0.2899)] / 3
0
[1 2 -0.68993 3 0.28993 ] / 3 2788
4h A1 A0 A1 A1 8 h 3 解出 4 A0 3 h A 8 h 1 3
令 f ( x) x ，
3
有
h 8h 4h 8h 8 8 (h)3 03 h3 h 4 h 4 0 x3dx 0 h 3 3 3 3 3
Tn
n 1 h n 1 h f ( x ) f ( x ) [ f (a) f ( xk ) f (b)] k k 1 2 k 0 2 k 1 2
bah Rn ( f ) I Tn f ( ), [a, b] 3 2
7、给出复合辛普森公式及其余项表达式。如何估计它的截断误差？ 复合辛普森公式为
n 1 n 1 h Sn [ f (a) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f (b)] 6 k 0 k 1
b a h (4) Rn ( f ) I S n f ( ), [a, b] 180 2
8、什么是龙贝格求积？它有什么优点？ 龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。 它是在梯形公式、 辛普森公式和柯特斯公式之间的 关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。使用理查森外推算法, 它在不增加计算量 的前提下提高了误差的精度. 在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样， 前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。 龙贝格算法公式
k 0
n
具有 2n-1（n 为秋季节点数）次代数精度，则称其节点 xk 为高斯点，求积公式为高斯型求 积公式。 可以使用证明的方法求证，插值公式的代数精度不超过 2n-1。即回到了最后一个问题。 根据老师的讲课，给出证明的方法。 10、牛顿-柯特斯求积和高斯求积的节点分布有什么不同？对同样数目的节点，两种求积方 法哪个更精确？为什么？ 牛顿-柯特斯求积节点等距分布 高斯求积的节点分布是插值型多项式的零件。 对同样数目的节点，高斯求积更精确。 11、描述自动求积的一般步骤。怎样得到所需的误差估计？ 答：如果求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值变化剧烈，需要使用小不长，另一 部分函数值变化平缓， 可以使用大步长， 针对被积函数在区间上的不同情形采用不同的步长，
第4章
复习与思考题 习题 1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。 答：用两端点的算术平均值作为 f ( ) 的近似值，这样导出的求积公式
f ( x) d x
a
a
ba [ f (a) f (b)] ，就是梯形求积公式。 2
ba 近似取代 f ( ) ，则导出中矩形公式 2
使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小， 针对这类问题的算法技巧是在不同区间上 预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长。就是自动求积的一般步骤。 12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分 基本原则：累次积分。 多重积分的辛普森公式：

a
b
d
c
f ( x, y )dydx
M 1 b M 1 b b k b [ f ( x, y0 )dx 4 f ( x, yi 1/2 )dx 2 f ( x, yi )dx f ( x, yM )dx] a a a 6 a i 0 i 1
而如果改用区间中点 c
f ( x) d x (b a) f (
a
a
ab ) 2
几何意义的图形，略。 2、什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？ 答：如果某个求积公式对次数不超过 m 的多项式均能准确成立，但对于 m+1 次多项式就不 准确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度 梯形公式和中矩形公式的代数精度为 1. 3、对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法。 由于是给定求积公式的节点，因此，不能使用高斯型求积公式 由于未说明是等距节点，因此不能用牛顿-科特斯求积公式。 未找到明确的资料. 答：插值型求积公式和….. 4、什么是牛顿-柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？ 答：设积分区间[a,b]划分为 n 等份，步长 h=（b-a）/n,选取等距节点 xk a kh 构造出的 插值型求积公式
R( f )
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
其，代数精度为 3. 6、什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式。 答：为了提高计算精度，通常把积分区间分成若干子区间（通常是等分） ，再在每个子区间 上使用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。
复合梯形公式为
2
2h A1 A0 A1 0 hA1 hA1 2 h3 h 2 A1 h 2 A1 3
2h A1 A0 A1 A1 1 h 3 解出 4 A0 3 h A 1 h 1 3
令 f ( x) x ，
需要确定 2 个待定参数，因此，令
设 f ( x) 1, x, x ，有
2
2 [1 2 3] / 3 0 [1 2 x1 3x2 ] / 3 2 [1 2 x12 3x2 2 ] / 3 3
x1 0.6899 x 2 0.2899 解出 x1 0.6899 x 2 0.5266
(k ) Tm
4
4m 1 ( k 1) (k ) Tm Tm 1 m 1 , k 1, 2,3... m 4 1 4 1
9、什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为何称 它是具有最高代数精确度的求积公式？ 答： 如果求积公式
an

a
f ( x) ( x) d x Ak f ( xk )
1） f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) ；
h
h
2）
2h
2 h 1
f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) ；
3） f ( x)dx [ f (1) 2 f ( x1 ) 3 f ( x 2 )] / 3 ；
所以代数精度为 3.
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： (1) (2) (3) (1)

x dx, n 8 0 4 x2
1


9
1
xdx, n 4 4 sin 2 d , n 6

/6
0
1
0
x dx, n 8 4 x2
梯形公式
n 1 h Tn [ f (a) 2 f ( xk ) f (b)] 2 k 1
1 h
4） f ( x)dx h[ f (0) f (h)] / 2 ah 2 [ f (0) f (h)] 。
0
1）

h
h
f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
由于需要确定 3 个 未知量，因此，需要给定 3 个方程。 设 f ( x) 1, x, x ，有
因此，具有 2 次代数精度。
4)

h
0
f ( x)dx h[ f (0) f (h)] / 2 ah 2 [ f (0) f (h)]
需要确定 2 个待定参数，因此，令
设 f ( x) 1, x, x ，有
2
h h 0 2 h2 h 0 2 2 3 h 3 3 h / 2 2ah 3
对每一个积分再次利用辛普森公式

b
a
n 1 n 1 h f ( x)dx [ f (a) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f (b)] 6 k 0 k 1
13、对给定函数，给出两种近似求导的方法。若给定函数值有扰动，在你的方法中怎样处理 这个问题？ 14、判断如下命题是否正确： （1）如果被积函数在区间[a , b ]上连续，则它的黎曼（Riemann）积分一定存在。 （2）数值求积公式计算总是稳定的。 （3）代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。 （4）n + 1 个点的插值型求积公式的代数精确度至少是 n 次，最多可达到 2n + 1 次。 （5）高斯求积公式只能计算区间[-1, 1]上的积分。 （6）求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。 （7）梯形公式与两点高斯公式精度一样。 （8）高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。 （9）由于龙贝格求积节点与牛顿-柯特斯求积节点相同，因此它们的精度相同。 （10）阶数不同的高斯求积公式没有公共节点。 1） 正确 2） 错误 3） 错误，是衡量计算准确度的一个指标 4） 正确 5） 错误，可以通过变化使得计算时区间在[-1,1]上。 6） 错误，典型的例子是，当 n 为偶数时，牛顿-柯斯特公式至少为 n+1 阶代数精度。 7） 错误。梯形公式，代数精度为 1，两点高斯公式代数精度为 3 8） 正确 9） 错误。龙贝格精度为 2n，牛顿-柯特斯精度最大为 n+1 10） 错误。 习题 1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度。