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数值分析习题与答案

第一章绪论习题一ﻫ1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。

解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足,而,故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。

解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得ﻫ有5位有效数字,其误差限,相对误差限有2位有效数字,有5位有效数字,3.下列公式如何才比较准确?(1)ﻫ(2)解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。

(1)ﻫ(2)4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取,利用 :式计算误差最小。

四个选项:第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newto n插值,并应用误差估计(5.8)。

线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值ﻫﻫ误差限,因,故ﻫ二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值ﻫ误差限,故ﻫ2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少?解:用误差估计式(5.8),ﻫ令因ﻫ得3. 若,求和.解:由均差与导数关系ﻫ于是4. 若互异,求的值,这里p≤n+1.解:,由均差对称性可知当有ﻫ而当P=n +1时ﻫ于是得5. 求证.解:解:只要按差分定义直接展开得ﻫ6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解:根据给定函数表构造均差表ﻫ由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)ﻫ由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203ﻫ由余项表达式(5.15)可得ﻫ由于ﻫ7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解:先构造差分表ﻫ计算,用n=4得Newton前插公式ﻫ误差估计由公式(5.17)得ﻫﻫ其中计算时用Newton后插公式(5.18)ﻫ误差估计由公式(5.19)得这里仍为0.5658.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。

此处可先造使它满足ﻫ,显然,再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A= ,于是ﻫ9. 令称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证明是[-1,1]上带权的正交多项式序列。

解:因ﻫ10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差.解:本题给出拟合曲线,即,故法方程ﻫ法方程为系数ﻫﻫ解得ﻫ最小二乘拟合曲线为ﻫ均方程为ﻫ11. 填空题(1)满足条件的插值多项式p(x)=( ).(2) ,则f[1,2,3,4]=( ),f[1,2,3,4,5]=( ).ﻫ (3)设为互异节点,为对应的四次插值基函数,则=( ),=( ).ﻫ(4) 设是区间[0,1]上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中,则=(),=( )答:(1)(2)(3)ﻫ(4)第4章数值积分与数值微分习题41. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.解本题只要根据复合梯形公式(6.11)及复合Simpson公式(6.13)直接计算即可。

ﻫ对,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。

按式(6.11)求出,按式(6.13)求得,积分2. 用Simpson公式求积分,并估计误差解:直接用Simpson公式(6.7)得ﻫﻫ由(6.8)式估计误差,因,故3. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.(1) ﻫ(2)(3)解:本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式的参数。

ﻫ(1)令代入公式两端并使其相等,得ﻫﻫ解此方程组得,于是有ﻫ再令,得ﻫ故求积公式具有3次代数精确度。

(2)令代入公式两端使其相等,得ﻫ解出得而对不准确成立,故求积公式具有3次代数精确度。

ﻫ解得(3)令代入公式精确成立,得ﻫﻫ对,得求积公式ﻫﻫﻫ故求积公式具有2次代数精确度。

4. 计算积分,若用复合Simpson公式要使误差不超过,问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间应分为多少等分?解:由Simpson公式余项及得ﻫ即,取n=6,即区间分为12等分可使误差不超过ﻫ对梯形公式同样ﻫ即,由余项公式得ﻫ取n=255才更使复合梯形公式误差不超过5. 用Romberg求积算法求积分,取解:本题只要对积分使用Romberg算法(6.20),计算到K=3,结果如下表所示。

ﻫ于是积分,积分准确值为0.7132726.用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.ﻫ解:本题直接应用三点Gauss公式计算即可。

由于区间为,所以先做变换ﻫﻫ于是ﻫ本题精确值7.用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分解:本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算ﻫ即于是,因n=2,即为三点公式,于是ﻫ,即ﻫ故8. 试确定常数A,B,C,及α,使求积公式有尽可能高的代数精确度,并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式?解:本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程,令对公式精确成立,得到ﻫ由(2)(4)得A=C,这两个方程不独立。

故可令,得ﻫ(5)ﻫ由(3)(5)解得,代入(1)得则有求积公式ﻫ令公式精确成立,故求积公式具有5次代数精确度。

三点求积公式最高代数精确度为5次,故它是Gauss型的。

第五章解线性方程组的直接法习题五1. 用Gauss消去法求解下列方程组.解本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

ﻫ故2. 用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值解:先选列主元,2行与1行交换得消元3行与2行交换消元ﻫ行列式得ﻫﻫ回代得解ﻫ3. 用Doolittle分解法求的解.解:由矩阵乘法得再由求得ﻫ由解得ﻫ4.下述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解,分解式是否唯一?ﻫ解:A中,若A能分解,一步分解后,,相互矛盾,故A不能分解,但,若A中1行与2行交换,则可分解为LU对B,显然,但它仍可分解为ﻫ分解不唯一,为一任意常数,且U奇异。

C可分解,且唯一。

ﻫ5.用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中ﻫ解:用解对三角方程组的追赶法公式(3.1.2)和(3.1.3)计算得6. 用平方根法解方程组ﻫ由及求得解:用分解直接算得ﻫﻫ7. 设,证明解:ﻫ即,另一方面ﻫ故8.设计算A的行范数,列范数及F-范数和2范数解:ﻫﻫ故9.设为上任一种范数,是非奇异的,定义,证明证明:根据矩阵算子定义和定义,得ﻫﻫ令,因P非奇异,故x与y为一对一,于是ﻫ10.求下面两个方程组的解,并利用矩阵的条件数估计.ﻫ,即,即解:记ﻫ则的解,而的解ﻫ故而ﻫ由(3.12)的误差估计得ﻫﻫ表明估计略大,是符合实际的。

11.是非题(若"是"在末尾()填+,"不是"填-):题目中ﻫ(1)若A对称正定,,则是上的一种向量范数( )ﻫ(2)定义是一种范数矩阵()ﻫ(3)定义是一种范数矩阵 ( )ﻫ(4)只要,则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵,U为非奇上三角阵()(5)只要,则总可用列主元消去法求得方程组的解( )ﻫ(6)若A对称正定,则A可分解为,其中L 为对角元素为正的下三角阵()ﻫ(7)对任何都有( )(8)若A为正交矩阵,则 ( )答案: (1)(+)(2)(-)(3)(+)(4)(-)(5)(+)(6)(+)(7)(-)(8)(+)第六章解线性方程组的迭代法习题六1.证明对于任意的矩阵A,序列收敛于零矩阵解:由于而故2. 方程组ﻫ(1) 考查用Jac obi法和GS法解此方程组的收敛性.(2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止解:因为具有严格对角占优,故J法与GS法均收敛。

(2)J法得迭代公式是取,迭代到18次有GS迭代法计算公式为取3. 设方程组证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散解:Jacobi迭代为其迭代矩阵ﻫ,谱半径为,而Gauss-Seide迭代法为ﻫ其迭代矩阵,其谱半径为ﻫ由于,故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。

4. 下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解,是否收敛?ﻫ解:Jacobi法的迭代矩阵是即,故,J法收敛、ﻫGS法的迭代矩阵为ﻫ故,解此方程组的GS法不收敛。

5.设,detA≠0,用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.解J法迭代矩阵为,故J法收敛的充要条件是。

GS法迭代矩阵为ﻫﻫ由得GS法收敛得充要条件是6. 用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)ﻫ精确解,要求当时迭代终止,并对每一个ω值确定迭代次数解:用SOR方法解此方程组的迭代公式为取,当时,迭代5次达到要求若取,迭代6次得7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度,并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次? 解:J法的迭代矩阵为ﻫ,故,因A为对称正定三对角阵,J法收敛速最优松弛因子ﻫﻫ度ﻫ由于,故ﻫ若要求,于是迭代次数对于J法,取K=15对于GS法,取K=8对于SOR法,取K=58. 填空题(1)要使应满足().(2) 已知方程组,则解此方程组的Jac obi迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度R(B)=().ﻫ(3) 设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是().GS法的迭代矩阵是().(4) 用GS法解方程组,其中a为实数,方法收敛的充要条件是a满足().(5) 给定方程组,a为实数.当a满足(),且0<ω<2时SOR迭代法收敛.答:(1)(2)J法是收敛的,ﻫ(3)J法迭代矩阵是,GS法迭代矩阵ﻫ(4)满足(5)满足第七章非线性方程求根习题七1.用二分法求方程的正根,使误差小于0.05解使用二分法先要确定有根区间。

本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。

另一根在[-1,0]内,故正根在[1,2]内。

用二分法计算各次迭代值如表。

ﻫ其误差2. 求方程在=1.5附近的一个根,将方程改写成下列等价形式,并建立相应迭代公式.ﻫ(1),迭代公式.(2) ,迭代公式.(3),迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根解:(1)取区间且,在且,在中,则L<1,满足收敛定理条件,故迭代收敛。

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