1-2章作业1-4．一质点的运动学方程为2x t =，()21y t =-(SI )。

试求：(1)质点的轨迹方程；(2)在2t =s 时，质点的速度和加速度。

[解] （1） 由质点的运动方程 2t x =（1）()21-=t y （2）消去参数t ，可得质点的轨迹方程 ()21-=x y（2） 由（1）、（2）对时间t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度t t x v 2d d x ==()12d d y -==t ty v 所以 ()j i j i v 122y x -+=+=t t v v（3）2d d 22x ==t x a 2d d 22y ==tya所以 j i a 22+= （4）把2s =t 代入式（3）、（4），可得该时刻质点的速度和加速度．j i v 24+= j i a 22+=1-8．质点沿x 轴运动，已知228t v +=，当8=t s 时，质点在原点左边52m 处(向右为x 轴正向)。

试求：(1)质点的加速度和运动学方程； (2)质点的初速度和初位置； (3)分析质点的运动性质。

[解] (1) 质点的加速度 t t v a 4/d d ==又 t x v /d d = 所以 t v x d d = 对上式两边积分，得⎰⎰⎰+==t t t v x d )28(d d 2所以 c t t x ++=3)3/2(8 由题知 528328838-=+⨯+⨯==c x t m所以 c = 31457m因而质点的运动方程为 332831457t t x ++-= (2) m/s 802820=⨯+=vm 314570-=x(3) 质点沿x 轴正方向作变加速直线运动，初速度为8m ⋅s -1，初位置为-45731m.1-9．一物体沿x 轴运动，其加速度与位置的关系为x a 62+=。

物体在0x =处的速度为10m ⋅s -1，求物体的速度与位置的关系。

[解] 根据链式法则 xvvt x x v t v a d d d d d d d d ===()x x x a v v d 62d d +==对上式两边积分并考虑到初始条件，得 ()⎰⎰+=xv x x v v 010d 62d故物体的速度与位置的关系为100462++=x x v s m1-10．在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为Bv g a -=，其中g 为重力加速度，B 为与物体的质量、形状及媒质有关的常数，并设0=t 时物体的初速度为零。

试求：(1)物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值。

[解] (1) 由t v a /d d =得t Bvg vd d =- 两边积分，得⎰⎰=-t Bvg vd d 即 c Bt Bv g ln )ln(+-=- 由t =0时v =0 得c=g所以，物体的速率随时间变化的关系为：)1(Bt e Bgv --=(2) 当a =0时 有 a =g-Bv =0 （或以∞=t 代入） 由此得收尾速率v=g/B1-16．在一个转动的齿轮上，一个齿尖P 沿半径为R 的圆周运动，其路程随时间的变化规律为2012s v t bt =+，其中0v 和b 都是正常量。

求t 时刻齿尖P 的速度及加速度的大小。

[解] 设时刻t 齿尖P 的速率为v ，切向加速度t a ，法向加速度n a ，则Rbt v R v a b tv a bt v t sv 202n t 0)(d d d d +====+==所以，t 时刻齿尖P 的加速度为24022n2t)(R bt v b a a a ++=+=1-18．一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置342t +=θ。

(1)在2s =t 时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，θ值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?[解] 质点的角速度 212d d t t==θω 质点的线速度 222.11210.0t t R v =⨯==ω质点的法向加速度n a ，切向加速度t a 为()4222n 4.1410.012t t R a =⨯==ω （1）t tva 4.2d d t ==（2） （1）把2s =t 代入（1）式和（2）式，得此时2t 224n m/s8.424.2m/s 103.224.14=⨯=⨯=⨯=a a（2）质点的总加速度1364.262t 2n +=+=t t a a a由 a a 21t = 得 1364.25.04.26+⨯=t t t 解得 0.66s =t 所以 r a d 15.3423=+=t θ （3）当t n a a =即t t 4.24.144=时有 0.55s =t2-3．质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv(1) 由牛顿第二定律 t v mma f d d == 即 tvm kv d d ==-所以 t m kv v d d -=对等式两边积分 ⎰⎰-=tv v t m k v v 0d d 0得 t mkv v -=0ln因此 t mke v v -=0(2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v mma f d d d d d d d d ==== 即 x vmv kv d d =-所以 v x mkd d =-对上式两边积分 ⎰⎰=-000d d v sv x m k得到 0v s m k-=-即 kmvs 0=2-5．跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2F kv =。

求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。

[解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

此时 2T kv mg =即 kmgv =T 有牛顿第二定律 tv m kv mg d d 2=- 整理得mtkv mg v d d 2=- 对上式两边积分m g km t kv mg v t v21d d 002⎰⎰=-得 m tvk mg v k mg =+-ln整理得 T 22221111v eek mg ee v kgm t kg m tkgm t kg m t+-=+-=3-4章作业3-5．在光滑的水平桌面上平放有如图3-5所示的固定的半圆形屏障。

质量为m 的滑块0v 沿切线方向进入屏以初速度障内，滑x =0处块与屏障间的为μ，试证明：当滑摩擦系数块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为()220112W mv eπμ-=-[证明] 物体受力：屏障对它的压力N ，方向指向圆心，摩擦力f 方向与运动方向相反，大小为 N f μ= (1)另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。

由牛顿运动定律 切向 t ma f =- (2) 习题3-4图法向 Rv m N 2= (3)v 习题3-5图联立上述三式解得 Rv a 2t μ-=又 svv t s s v t v a d d d d d d d d t ===所以 Rv s v v 2d d μ-=即 s Rv vd d μ-=两边积分，且利用初始条件s =0时，0v v =得0ln ln v s Rv +-=μ即 s Re v v μ-=0由动能定理 2022121mv mv W -=，当滑块从另一端滑出即R s π=时，摩擦力所做的功为()121212122020220-=-=--πμπμe mv mv e mv W R R3-6．一质量为1m 与另一质量为2m 的质点间有万有引力作用。

试求使两质点间的距离由1x 增加到d x x +=1时所需要作的功。

3-7．设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为3kr f=，k 为常数。

若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r 时的势能。

[解]由势能的定义知r 处的势能p E 为:⎰⎰⎰∞∞∞==⋅=rrrr r k r f E d d d 3p r f 22221r k r k r=-=∞4-5．如图4-5所示，质量为M =1.5kg 的物体，用一根长为l =1.25m 的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m =10g 的子弹以v 0=5001m s -⋅的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v =301m s -⋅，设穿透时间极短，求:(1)子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2)子弹在穿透过程中所受的冲量。

4-6. F ＝30+4t 的力作用在质量为10kg 的物体上，求： (1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300N s ⋅，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为101m s -⋅，方向与F 相同，在t =6.86s 时，此物体的速度是多少?[解] 根据冲量定义()20230d 430d t t t t t F I tt+=+==⎰⎰(1)开始两秒钟此力的冲量s N 6822230230222⋅=⨯+⨯=+=t t I(2) 当s N 300⋅=I 时3002302=+t t解得 s 86.6=t(3) 当s 86.6=t 时，s N 300⋅=I ，根据动量定理0mv mv p I -=∆=因此 m 401010103000=⨯+=+=m mv I v4-7．质量为m 的质点在xOy 平面内运动，其运动方程cos sin a t b t ωω=+r i j ，试求：(1)质点的动量；(2)从t ＝0到2t πω=这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间内，质点的动量是否守恒?为什么?[解] 质点的速度j i rv t b t a tωωωωcos sin d d +-==(1) (1) 质点的动量()j i v p t b t a m m ωωωcos sin +-==(2) 由(1)式得0=t 时，质点的速度j v ωb =0ωπ2=t 时，质点的速度为j j i v ωπωπωb b a =+-=2cos 2sin t根据动量定理00t =-=∆=mv mv p I解法二：j i a F ji va j i rv t mbw t ma m t bw t a tt b t a t ωωωωωωωωωωsin cos sin cos d d cos sin d d 2222--==--==+-==()0d sin cos d 202220=--==⎰⎰ωπωπωωωt t mbw t ma t j i F I(3) 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t 变化。