第4章 真空中的静电场4－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。

解：建立如图所示的直角坐标系o-xy ，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为则22re rπε=r r 外E 0q 4 4－9 如图所示，厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。

解:带电平板均匀带电，产生的电场具有面对称性，因而可以应用高斯定理求解。

作一柱形高斯面，其侧面与板面垂直；两底面s 和板面平行,且到板中心平面的距离相等，用x表示。

(1) 平板内（2d x <） 11102d 2S S x E S ρψε⋅=⋅==⎰E S r r Ñ得 10E x ρε=，方向垂直板面向外。

32123304S Q Q E dS E r πε+⋅==⎰r r Ñ 12304r Q Q E e πε+=r r （2）求各区域的电势 (a) 1r R <1221212112112320044R R R rR R R R Q Q Q V E dr E dr E dr dr dr rπεπε∞∞+=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰r r r r r r得 1210121(4Q Q V R R πε=+R r ≤时：102RRrrV E dr rdr ε=⋅=⎰⎰)(4220r R -=ε习题7－10图R r >时：22202SR l E dS E rl ρππε⋅==⎰r r Ñ2202n R E e r ρε→=r r 2202RRrrR dr V E dr rρε=⋅=⎰⎰r r r R R ln 202ερ= 空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。

第5章静电场中的导体和电介质5－1 点电荷+q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R l和R2，试求，电场强度和电势的分布。

相1）解：（1）设A板两侧的电荷为q1、q2，由电荷守恒原理和静电平衡条件，有Aqqq=+21（1）1qqB-=，2qqC-=（2）依题意V AB=V AC,即习题8－4图101d S q ε＝202d Sq ε112122q q d dq ==→代入（1）（2）式得 q 1＝1.0×10-7C ，q 2＝2.0×10-7C ，q B ＝－1.0×10-7C ，q C =-q 2＝－2.0×10-7C ，（2）101d S q U A ε=＝202d S q ε==⨯⨯⨯⨯⨯⨯----312471021085810200102. 2.3×103V 5－10 半径都为a 的两根平行长直导线相距为d （d>>a ），（1）设两直导线每单位12V V 75251003=-= C V C q 46111105.2251010--⨯=⨯⨯==C V C q 462221025.125105--⨯=⨯⨯==B习题 8－11图（3）如果C 1被击穿，C 2短路，AB 间的100V 电压全加在C 3上，即V 3=100V ， C 3上的电荷量为C V C q 46333100.5100105--⨯=⨯⨯==第6章 恒定电流6－2 在半径分别为R 1和R 2（R 1< R 2）的两个同心金属球壳中间，充满电阻率为ρ的2），解：设各电流如图⎪⎩⎪⎨⎧ε=++ε=+++=-+2332221334111321)()(0R I r R I R I R R r I I I I 习题6－13I I⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-+110203101003231321I I I I I I I 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==AI A I A I 14.002.016.0321与图中所示方向相反第7章 稳恒磁场7－2一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，圆弧半径R=3cm ，导线中的电流I=2A ， 如图所示，求圆弧中心O 点的磁感应强度。

解：两半无限长电流在O 点产生的磁感应强度大小相同，方向相同，叠加为•πμ⨯=方向 4201RIB O 3/4圆电流在O 点产生的磁感应强度为则圆弧中心O 点的合磁感应强度为 021-7-5231( - )2441020.43 1.810 T 2310O O O IB B B R μππ-=-=⨯⨯=⨯=⨯⊗⨯⨯方向7－7如图所示，两根导线沿半径方向引到铜圆环上A 、B 两点，并在很远处与电源相连。

已知圆环的粗细均匀，求圆环中心处的磁感应强度。

解：O 点处在两直线电流的延长线上，0Idl r ⨯=r r ， 故两直电流在O 处产生的磁感应强度为0。

I 1与I 2为并联电流，其在O 处产生的磁感应强度分别为：0222 22I lB R R μπ=⊗方向因为并联电流电压相同有：2211l I l I =，所以120O B B B =+=r r r7－9一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如 图所示，其上均匀绕有N 匝线圈，线圈中通有电 流I ，试求（1）环内离轴线为r 处的磁感应强度； （2）通过螺线管截面的磁通量。

IOR习题 7－2图习题 7－7图I 1 l 2I 2l 102342O I B Rμ=⨯⊗方向0111 22I l B R Rμπ=•方向解：（1）环形螺线管内的磁场具有对称性，可根据安培环路定理求解。

在环形螺线管内作一半径为r 的圆形回路L ,则有：0d NI LB l μ⋅=⎰rr Ñ)22( 221200dr d r NI B NI r B <<πμ=→μ=π （2）环内离轴线为r 处取一宽度为dr ，高为h 的矩形面积元ds ，则通过面积元ds 的磁通量为02d B dS Bds NIhdr rϕμπ=⋅=⋅=r r12202NIhdr 2rd d d μϕϕπ=⎰⎰＝=012d ln 2d NIh μπ 7－10一对同轴的无限长空心导体直圆筒，内、外筒半径分别为R 1和R 2（筒壁厚度可以忽略），电流I 沿内筒流出去，沿外筒流回，如图所示。

（1）计算两圆筒间的磁感应强度。

（2）求通过长度为l 的一段截面（图中画斜线部分）的磁通量。

解：（1）电流分布具有对称性，因此两圆筒间的磁感应强度也具有对称性，利用安培环路定理求解磁场强度。

在两圆筒间作一半径为r 的圆形回路L ,则有：0d I LB l μ⋅=⎰r r Ñ)( 222100R r R rIB I r B <<πμ=→μ=π （2）在两圆筒间离轴线为r 处取一宽度为dr ，长为l 的矩形面积元ds ，则通过面积元ds 的磁通量为02Id rs ldr Bd ϕμπ=⋅=210Ildr 2rR R d μϕϕπ=⎰⎰＝=021R ln 2R Il μπ7－24 有一同轴电缆，其尺寸如图所示。

两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。

试计算以下各处的磁感强度：（1）r<R 1；（2）R 1<r<R 2；（3）R 2<r<R 3（4）r>R 3；面出B －r 曲线。

解：由安培环路定理0d I LB l μ⋅=⎰r r Ñ作一半径为r 的圆形回路，则有： （1）)( 2I 21210220R r R Ir B r R πr B <=→=πμππμ （2）)( 222100R r R rIB I πr B <<=→=πμμ第九章 电磁感应9－1在通有电流I=5A 的长直导线近旁有一导线ab ，长l =20cm ，离长直导线距离d=10cm （如图）。

当它沿平行于长直导线的方向以v =10m/s 速率平移时，导线中的感应电动势多大？a 、b 哪端的电势高？r，02(0.1)x xπ+E x=d=0.1=3731.01041050.20.122102(0.10.1)0.1V ππ--⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅=⨯+ 方向为顺时针方向。

9－4若上题中线圈不动，而长导线中，通有交流电i =5sin100πt A ，线圈内的感生电动势将多大？解：10100010ln 222iL iLNdx N x μμφππ+==⎰电动势为d dtφε=-0ln 22L di N dt μπ=-⨯05100cos100ln 22L N t μπππ=-⨯⨯371.0104100.2500cos100ln 22t ππππ-⨯⨯⨯⨯=-⨯24.3510cos100()t V π-=-⨯9－10均匀磁场B(t)被限制在半径为R 的圆柱形空间，磁场对时间的变化率为dB/dt ，在与磁场垂直的平面内有一正三角形回路aob ，位置如图所示，试求回路中的感应电动势的大小。

解：回路中的感应电动势的大小为E s dB dSdt ε=⋅⎰rrs dBdS dt =⎰ 216dBR dt π=。