利用空间向量证明面面平行垂直1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明：平面ADE⊥平面A1D1F.2.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD3.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点．证明：平面平面5.如图，在底面是矩形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点．求证：平面EAC⊥平面AB1C7.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求证：平面ABB1A1⊥平面A1BDPD。

8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=12证明：平面PQC⊥平面DCQ答案和解析1.解：以D 为原点，向量DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1．则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,12)，C 1(0,1，1)，M (1,0,12)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,12)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−12)． 设平面ADE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =0⇒{a =0,a +b +12c =0.令c =2，得m⃗⃗⃗ =(0,−1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,−1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =0D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =0⇒{x =0,12y −z =0. 令y =2，则n⃗ =(0,2，1)．∵m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =(0,−1,2)·(0,2，1)=0−2+2=0， ∴m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F .2.证明：如图所示建立空间直角坐标系，设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a2,1，0)．所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,0，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,0，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,0，0)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ //BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．3. 证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，以A 点为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z 轴，建立如图所示的坐标系，由已知可得A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,1，0)，P(0,0，1)， 因为M 为PD 的中点，且PA =AD =1，所以AM ⊥PD ，M(0,12,12),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12), CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−12,12)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12)·(−1,−12,12)=0， 所以AM ⊥CM ，又PD ∩CM =M ，所以AM ⊥平面PCD ， 因为AM ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面PCD ．4.证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ．又因为PA ⊥平面ABCD ，AB 、AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ． 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图：因为PA =AD =2AB =2，E 为BC 中点，所以A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，E (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面PAE 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0，即{2z 1=0x 1+y 1=0，令x 1=1，则y 1=−1，因此n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面PDE 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗ =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗ =0，即{−2y 2+2z 2=0x 2−y 2=0，令x 2=1，则y 2=1，z 2=1，因此n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)， 因为n 1⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗ =1−1+0=0，所以n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ ，因此平面PAE ⊥平面PDE ．5.(1)证明：如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(4,2，0)，D(4,0，0)，P(0,0，2)． ∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,−2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−2)． 设平面PCD 的一个法向量为n →=(x,y,1)．则{n ⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x −2=0n ⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y =0⇒{x =12y =0, 所以平面PCD 的一个法向量为n⃗ =(12,0,1)． ∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，PA ∩AD =A ，PA 、AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ． ∴平面PAD 的一个法向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)．∵n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴n ⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴平面PDC ⊥平面PAD ．6.解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，E(0,0，1)，A(2,0，0)，C(0,2，0)，B 1(2,2，2)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，设平面AEC 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，则{ n ⃗⃗⃗ ⋅ AE⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +z =0 n ⃗⃗⃗ ⋅ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0，取x =1，得 n⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，2)，设平面AB 1C 的法向量 m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅ AB 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0,取x =1，得 m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)． ∵ m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+1−2=0，∴平面EAC ⊥平面AB 1C .7.证明：取BC 中点O ，连AO ，∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，∵在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1=BC ，AO ⊂平面ABC ，∴AO ⊥平面BCC 1B 1， 取B 1C 1中点为O 1，以O 为原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(−1,1,0),A 1(0,2,√3)，A(0,0,√3),B 1(1,2,0)， ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,√3)，∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+2+0=0， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+4−3=0．∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1， 又BD ∩BA 1=B ，BD ⊂面A 1BD ，BA 1⊂面A 1BD ，∴AB 1⊥面A 1BD ， 又AB 1⊂面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥面A 1BD ；8.证明：如下图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ；依题意有Q(1,1，0)，C(0,0，1)，P(0,2，0)；则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0；即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，故PQ ⊥平面DCQ ， 又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ。