《光的衍射》计算题1. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长1和2，垂直入射于单缝上．假如1的第一级衍射极小与2的第二级衍射极小相重合，试问 (1) 这两种波长之间有何关系？(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？ 解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得 111sin λθ=a 222sin λθ=a 由题意可知 21θθ= , 21sin sin θθ=代入上式可得 212λλ=3分(2) 211112sin λλθk k a == (k 1 = 1, 2, ……) a k /2sin 211λθ=222sin λθk a = (k 2 = 1, 2, ……) a k /sin 222λθ=若k 2 = 2k 1，则1 = 2，即1的任一k 1级极小都有2的2k 1级极小与之重合． 2分2. 波长为600 nm (1 nm=10-9m)的单色光垂直入射到宽度为a =0.10 mm 的单缝上，观察夫琅禾费衍射图样，透镜焦距f =1.0 m ，屏在透镜的焦平面处．求： (1) 中央衍射明条纹的宽度 x 0；(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x 2 ． 解：(1) 对于第一级暗纹，有a sin 1≈ 因 1很小，故 tg 1≈sin 1 = / a 故中央明纹宽度 x 0 = 2f tg 1=2f/ a = 1.2 cm 3分 (2) 对于第二级暗纹，有 a sin 2≈2x 2 = f tg 2≈f sin 2 =2f / a = 1.2 cm 2分3. 在用钠光(=589.3 nm)做光源进行的单缝夫琅禾费衍射实验中，单缝宽度a=0.5 mm ，透镜焦距f =700 mm ．求透镜焦平面上中央明条纹的宽度．(1nm=109m)解： a sin = 2分a f f f x /sin tg 1λφφ=≈== 0.825 mm 2分x =2x 1=1.65 mm 1分4. 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm ．缝后放一个焦距f = 400 mm 的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm ，求入射光的波长．解：设第三级暗纹在3方向上，则有a sin 3 = 3此暗纹到中心的距离为 x 3 = f tg 3 2分因为3很小，可认为tg 3≈sin 3，所以x 3≈3f / a ．两侧第三级暗纹的距离是 2 x 3 = 6f / a = 8.0mm∴= (2x 3) a / 6f 2分= 500 nm 1分5. 用波长=632.8 nm(1nm=10−9m)的平行光垂直照射单缝，缝宽a =0.15 mm ，缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为 1.7 mm ，求此透镜的焦距．解：第二级与第三级暗纹之间的距离x = x 3 –x 2≈f / a ． 2分 ∴ f ≈a x / =400 mm 3分 6. (1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，1=400 nm ，=760 nm (1nm=10-9 m)．已知单缝宽度a =1.0×10-2cm ，透镜焦距f =50 cm ．求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离．(2) 若用光栅常数d =1.0×10-3cm 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知()111231221sin λλϕ=+=k a (取k ＝1 ) 1分 ()222231221sin λλϕ=+=k a 1分f x /tg 11=ϕ , f x /tg 22=ϕ 由于11tg sin ϕϕ≈ , 22tg sin ϕϕ≈ 所以 a f x /2311λ= 1分a f x /2322λ= 1分则两个第一级明纹之间距为a f x x x /2312λ∆=-=∆=0.27 cm 2分 (2) 由光栅衍射主极大的公式1111sin λλϕ==k d2221sin λλϕ==k d 2分且有f x /tg sin =≈ϕϕ所以d f x x x /12λ∆=-=∆=1.8 cm 2分7. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，1=440 nm ，2=660 nm (1nm = 10-9m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d ．解：由光栅衍射主极大公式得 111sin λϕk d = 222sin λϕk d =212122112132660440sin sin k k k k k k =⨯⨯==λλϕϕ 4分当两谱线重合时有 1=21分即69462321===k k ．．．．．．． 1分 两谱线第二次重合即是4621=k k ， k 1=6， k 2=4 2分 由光栅公式可知d sin60°=6160sin 61λ=d =3.05×10-3mm 2分8. 一束具有两种波长1和2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长1的第三级主极大衍射角和2的第四级主极大衍射角均为30°．已知1=560 nm (1 nm= 10-9m)，试求: (1) 光栅常数a ＋b(2) 波长2解：(1) 由光栅衍射主极大公式得 ()1330sin λ=+b acm 1036.330sin 341-⨯==+λb a 3分 (2) ()2430sin λ=+b a()4204/30sin 2=+=b a λnm 2分9. 用含有两种波长=600 nm 和='λ500 nm (1 nm=10-9m)的复色光垂直入射到每毫米有200 条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为f=50 cm 的凸透镜，在透镜焦平面处置一屏幕，求以上两种波长光的第一级谱线的间距x ．解：对于第一级谱线，有：x 1 = f tg 1， sin 1= / d 1分 ∵ sin ≈tg ∴ x 1 = f tg 1≈f / d 2分 和＇两种波长光的第一级谱线之间的距离 x = x 1 –x 1＇= f (tg 1 – tg 1＇)= f (－＇) / d =1 cm 2分10. 以波长400 nm ─760 nm (1 nm ＝10-9m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围． 解：令第三级光谱中=400 nm 的光与第二级光谱中波长为的光对应的衍射角都为， 则 d sin =3，d sin =2λ'λ'= (d sin / )2==λ23600nm 4分∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm 1分11. 氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长=0.668 m 的谱线的衍射角为 =20°．如果在同样角处出现波长2=0.447 m 的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少？解：由光栅公式得sin = k 1 1 / (a +b ) = k 2 2 / (a +b )k 1 1 = k 2 2将k 2 k 1约化为整数比k 2 k 1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ...... k 2 k 1 = 1/ 2=0.668 / 0.447 3分取最小的k 1和k 2， k 1=2，k 2=3，3分 则对应的光栅常数(a + b ) = k 1 1 / sin =3.92 m2分12. 用钠光(=589.3 nm)垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°． (1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．(2) 若以白光(400 nm －760 nm) 照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角．(1 nm= 10-9m)解：(1) (a + b ) sin = 3a +b =3 / sin ， =60° 2分a +b =2'/sin ϕ' ϕ'=30° 1分3 / sin =2'/sin ϕ' 1分'=510.3 nm 1分(2)(a + b ) =3 / sin =2041.4 nm 2分2ϕ'=sin -1(2×400 / 2041.4) (=400nm) 1分 2ϕ''=sin -1(2×760 / 2041.4) (=760nm) 1分 白光第二级光谱的张角=22ϕϕ'-''= 25° 1分13.某种单色光垂直入射到每厘米有8000条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为 30°那么入射光的波长是多少？能不能观察到第二级谱线？解：由光栅公式 (a ＋b )sin =k k =1， =30°，sin =1 / 2∴=(a ＋b )sin / k =625 nm 3分实际观察不到第二级谱线 2分若k =2, 则 sin =2 / (a + b ) = 1, 2=90°14. 用波长为589.3 nm (1 nm = 10-9m)的钠黄光垂直入射在每毫米有500 条缝的光栅上，求第一级主极大的衍射角.解： d =1 / 500 mm ，=589.3 nm ，∴ sin = d =0.295 =sin -10.295=17.1°3分第一级衍射主极大： d sin=2分15. 一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱．钠黄光包含两条谱线，其波长分别为589.6 nm 和589.0 nm ．(1nm=10­9m)求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度．解：光栅公式， d sin =k ．现 d=1 / 500 mm =2×10-3mm ，1=589.6 nm ，2=589.0 nm ，k=2．∴ sin 1=k 1 / d=0.5896， 1=36.129° 2分 sin 2=k 2 / d=0.5890， 2=36.086° 2分 =1－2=0.043° 1分16.波长范围在450～650 nm 之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为35.1 cm ．求透镜的焦距f ． (1 nm=10-9m)解：光栅常数 d = 1m / (5×105) = 2 ×105m ．2分设 1 = 450nm ， 2 = 650nm, 则据光栅方程，1和2的第2级谱线有d sin 1 =21； dsin 2=22据上式得： 1 =sin 121/d ＝26.74°2 = sin 12 2 /d ＝40.54° 3分第2级光谱的宽度 x 2 x 1 = f (tg 2tg 1) ∴ 透镜的焦距 f = (x 1 x 2) / (tg 2 tg 1) ＝100 cm ． 3分17.设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察钠黄光（=589 nm ）的光谱线．(1)当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次k m 是多少？ (2)当光线以30°的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次mk ' 是多少？ (1nm=109m)解：光栅常数d=2×10-6m 1分(1) 垂直入射时，设能看到的光谱线的最高级次为k m ，则据光栅方程有d sin = k m∵ sin ≤１ ∴ k m / d ≤1 ， ∴ k m ≤d / =3.39∵ k m 为整数,有k m =3 4分(2) 斜入射时，设能看到的光谱线的最高级次为mk '，则据斜入射时的光栅方程有 ()λθmk d '='+sin 30sind k m/sin 21λθ'='+ ∵ sin ＇≤1 ∴ 5.1/≤'d k mλ ∴λ/5.1d k m ≤'=5.09 ∵ mk '为整数，有 m k '=5 5分18. 一双缝，缝距d =0.40 mm ，两缝宽度都是a =0.080 mm ，用波长为=480 nm (1 nm = 10-9m) 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2.0 m 的透镜求： (1) 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距l ；(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N 和相应的级数．解：双缝干涉条纹：(1) 第k 级亮纹条件： d sin =k 第k 级亮条纹位置：x k = f tg ≈f sin ≈kf / d相邻两亮纹的间距：x = x k +1－x k =(k ＋1)f / d －kf / d =f / d=2.4×10-3m=2.4 mm 5分(2) 单缝衍射第一暗纹： a sin 1 = 单缝衍射中央亮纹半宽度：x 0 = f tg 1≈f sin 1 ≈f / a ＝12 mm x 0/x =5∴ 双缝干涉第±5极主级大缺级． 3分 ∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9 1分 分别为 k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹 1分或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论的3分．友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。