所以在切线上必然平衡！
jf
FRA
jf
jf
A
2、如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作 用线在摩擦角jf之外，则无论这个力怎样小，物 块必滑动。
因为 >jf，而 j ≤ jf ，因此主动力的合力FR和 全约束力FRA不能满足二力平衡条件。
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FR
FRA 滑动
jf
j
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3、自锁应用举例
（ f s只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关）
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二、动滑动摩擦力（与静滑动摩擦力不同之处是已经产生了滑动） 大小：摩擦力是一常数；（无平衡范围） 动摩擦力特征： 方向：与物体运动方向相反； 定律： Fd f FN
（f 只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关）
G tan jf F1 G tan jf
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[例] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s=0.5， FNB 求 多大时，梯子能处于平衡？ B
解：考虑取最小时梯子处于下滑趋势的临界 平衡状态，作受力图。 列平衡方程 FSB
自锁应 用实列
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<jf
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[例] 水平梯子放在直角V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的静摩擦 因数为 fs（摩擦角均为j f ），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动， E 人的活动应限制在什么范围内？P130,4-10
H
解：①作法线AH和BH ②作A，B点的摩擦角jf 交E，G两点 ③E，G两点间的水平距离CD为人的 jf jf 活 动范围 证明：由几何关系 AEB AGB 90 0
③计算Fmax=fSFN ，根据不等式|FS|≤ Fmax是否满足来判
断物体是否平衡。满足不等式则平衡，否则不平衡。
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二、求平衡范围问题（包括力与几何范围）
①设物体处于某种临界平衡，摩擦力达到最大值Fmax，其方
向不能假设，要根据物体运动趋势来判断； ②补充方程Fmax=fSFN ，由平衡方程求未知量； ③根据求得的某种临界平衡条件，分析其平衡范围。 三、临界平衡问题
Fx 0 Fy 0
FNB FSA 0 FNA FSB P 0
(1) (2)
(3)
P
min
A
FSA
l M 0 P cosmin FSB l cosmin FN B l sinmin 0 A 2
补充方程 解得 FNA
FSA fs FNA
G A l C D B
jf j f
600
300
AC AE cos(300 jf ) AB sin(600 jf ) cos(300 jf ) BD BG cos(600 jf ) AB sin(300 jf ) cos(600 jf )
所以人在AC和BD段活动都不能满足三力平衡汇交的原理，只 有在CD段活动时，才能满足三力平衡汇交原理。
FNB
B
D
FBmax
P
Fx 0 Fy 0
FNB FA max 0 FNA FB max P 0
S
M A ( F ) 0 PS cos FB max l cos FNBl sin 0
①设物体处于临界平衡，摩擦力达到最大值Fmax，其方
向不能假设，要根据物体运动趋势来判断； ②补充方程Fmax=fSFN ，由平衡方程求未知量。
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[例]在倾角大于摩擦角jf 的固定斜面上放有重G的物块，为了维持这物块 在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F1。试求该水平力的大小。 解：研究物块处于向上滑动时的临界平衡状态 1、解析法求F1的最大值F1max，受力分析如图。 F1
FR
j
FN
由于静摩擦力不可能超过最大值，因 此全约束力的作用线也不可能超出摩擦角 以外，即全约束力必在摩擦锥之内。
Fmax FS
将摩擦锥反向，判断主动力的合力是 否在反向摩擦锥内来判断物体是否平衡。
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1、如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作 用线在摩擦角jf之内，则无论这个力怎样大，物 块必保持静止。这种现象称为自锁现象。
a
A
d
B
M
e a
alim
b 2 fs
a
b 2 fs
挺杆不被卡住。
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§4-3
考虑摩擦时物体的平衡问题
判断物体是否平衡问题
考虑摩擦时的平衡问题
求平衡范围问题
临界平衡问题
一、判断物体是否平衡问题 ①假定物体平衡，将摩擦力FS作为未知力，指向可假设； ②由平衡方程求FS和FN。若FS为负值则与假设指向相反；
极限 解：A、B处的全约束力只 能在摩擦角以内，即两力 b 作用线的交点只能在C或C FRA A φf 的右侧。由三力平衡汇交 b φf C 定理可知，三力在C点右侧 B FRB 汇交时，摩擦力未达到临 界状态，可以平衡。因此 a<a极限时，推杆不会被卡住。 O a F d d b (alim ) tan jf (alim ) tan jf 2 2 2alim tan jf 2alin f s
7
④测定摩擦因数的一种简易方法
G
tan tan jf fs
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二、自锁现象
物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与 最大值Fmax之间变化，所以全约束力与法线间的夹角j也 在零与摩擦角jf之间变化，即 jf 平衡有 0 FS Fmax
则必有 0 j jf
Fmax fS FN
（f S— 静滑动摩擦因数） Fmax
FN
FT P
所以增大摩擦力的途径为 ：
①加大法向压力FN； ②加大静摩擦因数fS。
3、 特征：
大小：0 FS Fmax （平衡范围）满足 Fx 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律： Fmax fS FN
注意，由于不可能大于900 ， 所以梯子平衡倾角 应满足
jf FRA
36.80 900 min jf CAD jf ADC 2jf
2 2 2
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若梯子与水平面的夹角已知，且梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s。 不考虑梯子重量，重为P的人沿梯子攀爬的最远距离S为多少？ 解：考虑人沿梯子攀爬最远时梯子处于下滑 趋势的临界平衡状态，作受力图。 列平衡方程
③摩擦锥：顶角为2jf 的锥体。
解析法求摩擦问题时：切向摩擦力FS和法向约束力 物 FN分别画，用平衡方程求解！不必考虑摩擦锥。
jf jf
体 平 衡 几何法求摩擦问题时：需要把切向摩擦力FS和法向
FR
约束力FN合并成一个全约束力画，作力三角形求解！ 必须把全约束力画在摩擦锥内。
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y
Fx 0 列平衡方程 Fy 0
补充方程（物理方程）
F1 cos Fmax G sin 0 FN G cos F1 sin 0
Fmax=fsFN F1
G
x
联立求解得
F1max
tan tan jf G G tan( jf ) 1 tan jf tan
FR2
j2
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ
j2 j1
j1 j2 2jf
jf 2
各处摩擦相同， 求能自锁的角。
FR1
j1
cot fs
F
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[例]图示为凸轮机构。已知推杆和滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。 设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。
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前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略 了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的， 一般情况下都存在有摩擦。
FN1 Fs1
Fs2 FN2
P
平衡必计摩擦 按接触面的运动情况看摩擦分为： 滑动摩擦，滚动摩擦
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§4-1 一、静滑动摩擦力
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FNB FSB
B
几何法求解 当梯子处于向下滑动的临界平衡状态 时，受力如图，显然 FRA FRB ，于是
D
P
min
A
FSA
jf
B jf
FRB
C
FNA
jf arctan 0.5 26.6
得 min
0
P
min
jf
A
2jf 36.80 2
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[ 例 ] 在隧道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧 装置—楔联结。隧道支柱中的联结结构装置如图 所示。它包括顶梁I，楔块II，用于调节高度的螺 杆 III 及底座 IV 。螺旋杆给楔块以向上的推力 FN1 。 已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为 fs （摩 擦角jf ），求楔块不致滑出所需顶角的大小。 解：研究楔块，受力如图 二力平衡条件 FR1 FR2 且两力必在同一直线上
y
