同样可定义三阶、四阶 差分： 3 yx (2 yx ),4 yx (3 yx )
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
解 设y x 2，则
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1 2 yx 2( x2 ) (2x 1)
D. yx 2 yx1 3 yx2 4
解 由差分方程的定义有：A, D是差分方程.
B的 左 端
3yx
3( yx1
yx )
3 yx1
3
y
，
x
则 等 式 实 为 3 yx1 a x， 仅 含 一 个 时 期 的 函 数
值y
x
，
1
故
不
是差分方来自程.而C的左端2
yx
( yx1
yx)
yx1 yx
yx2
y0，y1，y2， ，y x，y x1 ,
称 函 数 的 改 变 量y x1
y
为
x
函
数y的
差
分
，
也 称 为 一 阶 差 分 ， 记 为Δ y x y x1 y x .
函 数y f ( x)的 二阶 差分 为函 数y的 一阶 差分 的 差 分,即
Δ2 y x Δ(Δ y x ) Δ( y x1 y x ) ( yx2 yx1 ) ( yx1 yx ) yx2 2 yx1 yx
2( x 1) 1 (2x 1) 2
3 yx 3 ( x2 ) 2 2 0
例 2 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
loga ( x 1) loga x
1
loga (1
); x
(2)Δ y x sina( x 1) sinax 2cos a( x 1 ) sin a . 22
解 yx ( x 1)(n) x(n) ( x 1)x( x 1) ( x 1 n 1) x( x 1) ( x n 2)( x n 1)
( x 1) ( x n 1)x( x 1) ( x n 2)
nx(n1) （公式）
2.差分的四则运算法则
例3 求y x! 的一阶差分，二阶差分.
解 yx yx1 yx
( x 1)! x!
x x!
2 yx yx x x!
x 1 x 1! x x!
x 2 x 1 x!
例4 设y x(n) x( x 1)(x 2) ( x n 1), x(0) 1，求Δ y x (即Δ( x(n) )).
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
例 7 下列等式是差分方程的有( ).
A.2yx yx x
B. 3yx 3 yx a x
C .2 yx yx2 2 yx1 yx
(x(3) 3x(2) x(1) )
[3 x(2) 6 x(1) x(0) ]
[3x(2) 6x(1) 1]
6x(1) 6x(0) 6.
例6 设y e 2 x，求Δ2 y x .
解 yx yx1 yx
e2x1 e2x
e2x e2 1 ;
2 yx yx e2x e2 1
2 yx1
y
，
x
恰 好 等 于 右 端 ， 故 不 是差 分 方 程.
例 8 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
第六节 差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构
一、差分的概念
二、差分方程的概念
三、常系数线性差分方程解的结构 四、小结
一、差分的概念
1.差分的定义
设 函 数y f ( x).当x取 非 负 整 数 时 ， 函 数 值 可 以 排 成 一 个 数列 :
f (0)，f (1)， ，f ( x)，f ( x 1)， 将之简记为
yx1 zx1 yx zx yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx
yx1 yx zx1 yx zx1 zx
z x1Δ y x y xΔ z x
又证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx yx1 zx1 yx1 zx yx1 zx yx zx
或G( x, yx , yx1, , yxn ) 0 (n 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。
如yx5 4 yx3 3 yx2 2 0是三阶差分方程；
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
yx1 zx1 zx yx1 yx zx
y x1Δ z x z xΔ y x
例5 设y x 3，求Δ3 y x .
分 析
y x3
x( x 1)(x 2) 3x( x 1) x
x3 3x2 x1
借助公式 x(n) nx(n1) 和差分的运算法则可求
解 3 yx (yx )
(1)(Cyx ) Cyx (C为常数) (2)( yx zx ) yx zx
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
4
yx zx
zxyx yxzx zx zx1
zx1yx yx1zx zx zx1
参照导数的四则运算法则学习
证明（3）
yx zx
e2 1 e2x e2x e2 1 2 .
二、差分方程的概念
1.差分方程与差分方程的阶
定义1
含有未知函数的差分Δ yx ,Δ2 yx , 的函数方程 称 为 差 分 方 程.
形式：F ( x, yx , yx , 2 yx , , n yx ) 0
定义2
含 有 未 知 函 数 两 个 或 两个 以 上 时 期 的 符 号 yx , yx1 , 的方程，称为差分方程. 形式：F ( x, yx , yx1, , yxn ) 0