序列与单位样值的卷积
x(n)* (n) x(n)
一.卷积和的运算过程：变量替换、反褶、平移、相 乘、求和。
举例：求解图示序列的自卷积。
x(n) 1 n
5 210 1 2 3 5 7
变量替换、反褶
x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(n m)
则所求单位函数响应为：h(n) h1(n) 3h1(n 2)
与连续时间系统相对应，离散时间系统同样可以 利用卷积的方法，求解系统的零状态响应。
连续时间LTI系统：
e(t)
h(t)
r(t)
零状态响应：
rzs (t) e(t) * h(t) h(t) *e(t)
离散时间LTI系统：
1
m1
m
5 21 0 1 2 3 5 7
n=2时
x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(2 m) 1
2
y(2) x(m)x(2 m) 3 m0
5
m
2 0 2
x(m)x(2 m) 1
m
21 0 1 2 3 5 7
n=3时
x(m) 1
(1)若边界条件y(-1)=0，求系统的完全响应 (2)若边界条件y(-1)=1，求系统的完全响应
7.5 离散时间系统单位样值响应
x(n)
y(n)
离散时间系统
单位样值响应：单位样值 (n)作为激励而产生的
系统零状态响应h(n)
单位样值响应也称为单位冲激响应
单位样值响应的响应形式？
单位样值响应具有零输入响应的形 式，也就是具有齐次解的响应形式
求卷积y(n)=x1(n)*x2(n)
解：表示成序列 x1(n)=2 1 4 1

x2(n)=3 1 5 （指针表示n＝0处）

x2 (2)
x1 (m) x1(0) x1(1)
x1 (2)
x1(3) m
x2 (0)
0 x2 (n m)
x2 (1)
n由小变大
m
n2 n
0 x2 (2 m)
h(n)求解：单位样值 (n)作用等效起始条件h(0)
求解齐次方程 h(n)的闭式解
因果系统的充要条件： h(n) 0, n 0

稳定系统的充要条件： h(n) M n
例题：系统的差分方程为：
y(n) - 5y(n -1) + 6y(n - 2) = x(n)
m
5 3
1
y(3) x(m)x(3 m) 2 m2
0 x(m)x(3 m)
1
m
5 2 0 2 5 7
n=－2时
x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(2 m) 1
m
4 2 0
x(m)x(2 m)
0
y(2) x(m)x(2 m) 3
2、特解
特解由差分方程右边自由项函数的形式决定
激励x(n) A常数 n
nk ean n sinwn
响应特解y(n) D常数
D1n+D2 D0nk+D1nk-1+…+Dk D ean D n D1sinwn+D2 coswn
例：求解6y(n) 5y(n 1) y(n 2) x(n) 若 y(0) 15 y(1) 9 x(n) 10 求y(n)
y(n)

N 1
anm
m0

an[1 aN ] 1 a1
2.卷积和的求解过程可以 仿照连续信号求解卷积积
分的解析方法求解
二.对位相乘求和法计算有限长序列的卷积和
已知x1(n)=2 n n 1 4 n 2 n 3, x2(n)=3 n n 1 5 n 2,
5
m
2 0 2
x(m)x(4 m) 1
m
21 0 1 2 3 5 7
n>4时 y(n)=0 y(n)的波形如图所示:
5 y(n)
1n 5 2 0 2 5 7
图解过程和连续信号卷积的过程完全类似！
例：系统单位样值响应h(n) anu(n), 0 a 1 激励 x(n) u(n) u(n N )
一、迭代法
例题：差分方程为 y(n)－ay(n 1) x(n)
若已知 x(n) (n) y(1) 0, 求 y(n)
y(n) ay(n 1) (n)
y(n) anu(n)
利用迭代法可以很容易得到一些离散点的数值 解，但是得到一个解析解不是很容易。实际中 经常利用迭代法求出系统的边界值。
1 n由小变大
m
n2 n2
0
平移、相乘、求和
n<-4时 y(n)=0 n=-4时
5
6
y(4) 1
5
x(m) 1
m
210 1 2 3 5 7 x(4 m)
1
m
2 0
x(m)x(4 m) 1
2 0 2
m
57
n=－3时
x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(3 m) 1


x(m) (n m) LTI x(m)h(n m)
m
m

x(n) LTI yzs (n) x(m)h(n m) m
7.6 卷积（卷积和）

卷积和： x1(n) x2 (n) x1(m)x2 (n m) m
离散时间LTI系统：
k 0
r0
N
齐次方程： ak y(n k) 0 k 0
特征方程 a0 N a1 N 1 .... aN 0 N个特征根：1,2 ,...... N
特征方程 a0 N a1 N 1 .... aN 0 N个特征根：1,2 ,...... N
3、完全响应的分解
完全响应的分解：
N
（1）y(n)
Ck
n k

D(n)
（齐次解加特解）
k 1
强迫响应
自由响应
yp(n)
yh(n)
N
N
（2）y(n)
Czik
n k

Czsk
n k

D(n)
k 1
k 1
零输入响应 yzi(n)
零状态响应 yzs(n)
其中Czik是由零输入条件下边界值yzi (k)求得， 由起始状态y(1), , y(N ) yzi (1), , yzi (N ) （直接带入求或解迭零代输入响应） 初始条件yzi (0), , yzi (N 1)；
求：响应 y(n) x(n)*h(n)
1.可以结合图解的方法分区间求和；
(1)n 0，x(m)与h(n m)无交迭 y(n) 0
(2)0 n N 1, m从0至n交迭
y(n)

n
anm
m0

an[1 a(n1) ] 1 a1
(3)n N 1，m从0至N－1交迭
齐次解的形式：
y(n)

c11n

c2
n 2

......
cNN n
(无重根）
若1为K重根
y(n)

(c1nk 1

c2nk 2
...
ck
)1n

c n k 1 k 1
......
cNN n
例：求解齐次差分方程 y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) 0
x2 (2)
x2 (0)
n＝2
x2 (1) m
02
y(2) x1(0)x2 (2) x1(1)x2 (1) x1(2)x2 (0)
y(2) x1(0)x2 (2) x1(1)x2 (1) x1(2)x2 (0)
x1(0)
x1(1) x2 (0)
x1(2) x2 (1)
x1(3) x2 (2)
Czsk是由零状态条件下边界值yzs (k )求得， 由零状态条件yzs (1), , yzs (N ) 0 输入 序列x迭(n代)代入方程 初始条件yzs (0), , yzs (N 1)。
例题：已知系统的差分方程表达式为
y(n) 0.9y(n 1) 0.05u(n)
2 0.7 0.1 0 1 0.5,2 0.2
yg (n) c1(0.5)n c2 (0.2)n
例：求解差分方程 y(n) 2 y(n 1) 2 y(n 2) 2 y(n 3) y(n 4) 0 y(1) 1, y(2) 0, y(3) 1, y(5) 1
7.4 常系数线性差分方程的求解
求解方法：
迭代法
手利算用逐计次算代机入：仅得数值解

代入边界条件
时域经典法：先求齐次解与特解======= 求系数
（求解过程麻烦）
零输入与零状态求法：利用齐次解得零输入响应，
利用卷积和求零状态响应
Hale Waihona Puke 变换域法：利用Z变换法（简便有效）
x(n)
h(n)
y(n)
零状态响应：
yzs (n) x(n) * h(n)
卷积和服从交换律、分配律、结合律
x1(n) * x2 (n) x2 (n) * x1(n) x1(n) *[x2 (n) x3(n)] x1(n) * x2 (n) x1(n) * x3(n)
x1(n)* x2 (n)* x3(n) x1(n)*[x2 (n)* x3(n)] [x1(n)* x2 (n)]* x3(n)