用连线的方法试试。
小刚 2
4小林 小强3Fra bibliotek小兵 1答：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强。
小芳 2
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数与形：
1. 从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。 2. 有些计算问题或较为复杂的题目可以通过画图，把数
字、算式转化成图形，使复杂的问题简单化、抽象的 问题直观化，解决起来会更直观、更简单。
2
4
8 16 32 64
算在一这算列、数猜中一，猜你，能结发果现可什能么是规多律少？？然后借助线段图或圆 形从图第来二帮个助数思开考始，，验每证个你数的是猜前测一是个否数正1确。?
2
111 1 1
1 ……
计算。 2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 16 ＋ 32 ＋ 64 ＋
我你一能个发现一什个么加规下律去？看看， 答案好像有点规律。 加下去，等号右边的分 数越来越接近于1。
3. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
（P109第1题）
照这样画下去，第5 个图形最外圈有（40） 个小正方形。
32－1＝ 8 5 2－32＝ 16 7 2－52＝ 24 112－92＝ 40
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探究点 2 初步感受极限思想
例2
计算 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ...
1＋3＋5＋7＝（ 4 ）2
如果遇到困难,可 以画图来帮助。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 ＝（ 7 ）2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 ＝9 2
2. 请根据例1的结论算一算。 （做一做第1题） 1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（ 25 ）
可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42 5＋3＋1＝ 32 42＋ 32 ＝25
从第二个数开始，每个 数是前一个数的 1 。
2
1＋ 1 ＝ 3 24 4
3＋ 1 ＝ 7 48 8
7
1 ＝ 15
8 ＋ 16 16
15
1 ＝ 31
16 ＋ 32 32
…
线段图理解
计算 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ...
2
4
8 16 32 64
1
1
1 11
2
4
8 16 32
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ... ＝ 1
1＋3 ＋5 ＋7 ＋ 9 ＋11 ＝（ 6）² 教你一招 解决数形结合找规律的题目：首先要 从观1察开上始面的根的几据算个直式连观，续图想奇形一数填想的出，和数你正，能好从发是而现几发的现平算方。
什么规律式？的规律，最后达到运用规律解决 复杂问题的目的。
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小试牛刀
1. 你能利用规律直接写一写吗？ （教材P107）
1 ＝ 31 32 32
4
…
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先在图形上表示出 1 ，再表出 1
1 ，
，1
2
4 8 16
等，并不断地累加下去，其结果越来越接近1。
当这个过程无止境地持续下去时，相加之和为1，
这种数学思考方式体现了极限思想。
除了借助线段图和圆形图进行 理解，我们还可以用什么图形 表示单位“1”呢？ 用一个正方形表示单位“1”：
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学以致用
1+3+5+7+5+3+1=（ 25 ）
4²
3²
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ 85 ）
7²
6²
2. 请根据例1的结论算一算。 （做一做第1题）
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ 85 ）
原式＝7 2＋62＝85
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第 1 课时
8 数学广角—数与形
数与形
R 六年级上册
这首诗的意思是：从不同的角度看庐山，庐山的模样各不 相同。其实在数学学习中也是如 此，对待同一个问题， 如果从不同的角度去观察、去思考，得出的结论、规律可 能会不同。接下来 我们就一起来探秘数学中的规律吧。
探究点 1 认识正方形数
1＋3＝（ 4 ） 1＋3 ＋5＝（ 9 ）
你发现了 什么？
计算出结果。
1＋3＋5＋7＝（ 16）
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（ 100 ）
观察一下，上面的图和下面的算式 有什么关系？把算式补充完整。
1＝（1 ）2 1＋3＝（ 2 ）2
1 ＋3＋5 ＝（ 3 ）2
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小 正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数 之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。
狗的速度是人的速度的2倍
起点
终点 200×2＝400（米）
答：小狗从出发开始，一共跑了400米。
2. 小林、小强、小芳、小兵和小刚5 人进行象棋 比赛，每2 人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小 芳下了2 盘，小兵下了1 盘。请问：小刚一共下了几盘？ 分别和谁下的？（P111第6题）
2
4
8 16 32 64
有些问题通过画图，解决起来更直观、容易。
圆形图理解
计
算
。1 2
＋
1 4＋
1 8
＋
1 16
＋
1 32
＋
1 64
… ＋
＝1
1
1＋1 ＝3
32 …
24 4
1
3 4＋
1 8
＝7 8
7 8
＋
1 ＝
16
15 16
1 1116635213716
8 1632482 7 81
31 42
15 16 ＋
观察一下，上面的图和下面的算式有什 么关系？把算式补充完整。
1＝（ 1 ）2
1＋3＝（ 2 ）2
1 ＋3＋5 ＝（ 3 ）2
我发现，从1开始的连续奇数的和 正好是这串数个数的平方。
回头看
1 ＝ （ 1 ）² 1＋3 ＝（ 24 ）² 1＋3 ＋5 ＝（ 93 ）² 1＋3 ＋5 ＋7 ＝（4 ）² 1＋3 ＋5 ＋7 ＋ 9＝（ 5 ）²
1.仔细想，认真填。
古希腊数学家毕达哥拉斯发现“形数”的奥秘，他把1、3、6、10、
15、… 这样的数叫做“三角形数”，因为用这些数的图点可以堆成
三角形，如下图。
仔细观察：
图（1）：1=1
图（2）：3=1+2
图（3）：6=1+2+3
图（4）：10=（ 1 ）+（ 2 ）+（ 3 ） +（ 4 ）
如上图所示： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1
2
4
8 16 32 64
的和等于单位“1”减去最后一个小正方形的面积，
即 1－ 1
63 =
。
64
64
小试牛刀（P110第4题）
1. 一条马路长200 m，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时 从马路的起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗 已经到达马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到 小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行…… 直到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？