2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题 课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A ．（A +B ）T =A T +B T B ．|AB |=|A ||B | C ．A （B +C ）=BA +CA D ．（AB ）T =B T A T 2．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．-24 B ．-12 C ．-6D ．123．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ）A ．A =||1A A *B ．|A |=0C ．（A 2）-1=（A -1）2D ．（3A ）-1=3A -14．若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-123214，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--213120，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（ ） A ．ABC B ．AC T B T C ．CBAD ．C T B T A T5．设有向量组A ：4321,,,αααα，其中α1，α2，α3线性无关，则（）A ．α1，α3线性无关B ．α1，α2，α3，α4线性无关C ．α1，α2，α3，α4线性相关D ．α2，α3，α4线性无关6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵B ．齐次方程组Ax =0有非零解C ．齐次方程组Ax =0只有零解D ．非齐次方程组Ax =b 必有解7．已知方阵A 与对角阵B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---200020002相似，则A 2=（ ）A ．-64EB ．-EC ．4ED ．64E8．下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--100010001B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11001110121 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθθθcos sin sin cos D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--336102233660336122 9．二次型f =x T Ax (A 为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A ．A 可逆B ．|A |>0C ．A 的特征值之和大于0D ．A 的特征值全部大于010．设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则（ ）A ．k ＞0B ．k ≥0C ．k ＞1D ．k ≥1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．设A =（1，3，-1），B =（2，1），则A T B =__________. 12．若12131012k =0，则k =__________.13．若ad ≠bc ，A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，则A -1=__________.14．已知A 2-2A -8E =0，则（A +E ）-1=__________.15．向量组α1=（1，1，0，2），α2=（1，0，1，0），α3=（0，1，-1，2）的秩为__________. 16．两个向量α=（a ,1,-1）和β=（b ,-2,2）线性相关的充要条件是__________. 17．方程组⎩⎨⎧=+=+003221x x x x 的基础解系为__________.18．向量α=（3，2，t ,1）β=(t ,-1,2,1)正交，则t =__________. 19．若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4001与矩阵B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡x a b 3相似，则x =__________. 20．二次型f (x 1,x 2,x 3)=3121232221332x x x x x x x -+-+对应的对称矩阵是__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．计算三阶行列式1641421111.22．已知A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0132，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1213，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021110，D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡101021，矩阵X 满足方程AX +BX =D -C ，求X .23．设向量组为α1=（2，0，-1，3）α2=（3，-2，1，-1） α3=（-5，6，-5，9） α4=（4，-4，3，-5）求向量组的秩，并给出一个最大线性无关组. 24．求λ取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+=++050403)4(3213121x x x x x x x λλ 有非零解？并在有非零解时求出方程组的结构式通解. 25．设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----460350361，求矩阵A 的全部特征值和特征向量.26．用正交变换化二次型f (x 1,x 2,x 3)=322322212334x x x x x -++为标准形，并求所用的正交矩阵P .四、证明题（本大题共1小题，6分）27．若n 阶方阵A 的各列元素之和均为2，证明n 维向量x =(1,1,…,1)T 为A T 的特征向量，并且相应的特征值为2.全国2010年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明:在本卷中,A T表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( ) A.-8 B.-2 C.2D.82.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11,B=(1,1),则AB=( )A.0B.(1,-1)C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11113.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,则A -1= ( ) A.21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 B. 21- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321 C. 21- ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321 D. 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1324 5.下列矩阵中不是．．初等矩阵的是( ) A.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010101 B. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010100 C. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100030001 D. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛102010001 6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( )A.A+B 可逆B.AB 可逆C.A-B 可逆D.AB+BA 可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一8.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.39.设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++λ=--=+-0x x x 0x x x 0x x x 2321321321有非零解,则λ为( )A.-1B.0C.1D.210.设二次型f(x)=x T Ax 正定,则下列结论中正确的是( )A.对任意n 维列向量x,x T Ax 都大于零B.f 的标准形的系数都大于或等于零C.A 的特征值都大于零D.A 的所有子式都大于零 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.行列式2110的值为_________.12.已知A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3221,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.13.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4231,P=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011,则AP 3=_________. 14.设A,B 都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A -1B|=_________.15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.16.已知Ax=b 为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且,9753,4321311⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α+α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α则该线性方程组的通解是_________.17.已知P 是3阶正交矩,向量=βα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α)P ,P (,201,231则内积_________.18.设2是矩阵A 的一个特征值,则矩阵3A 必有一个特征值为_________.19.与矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3021相似的对角矩阵为_________.20.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--k 221,若二次型f=x TAx 正定,则实数k 的取值范围是_________.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21.求行列式D=.0120101221010210的值 22.设矩阵A=,000012021B ,100001010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-求满足矩阵方程XA-B=2E 的矩阵X.23.若向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αk 202,k 62,311,1114321的秩为2,求k 的值.24.设矩阵.012b ,121011322A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=(1)求A -1;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b 用A 的列向量组线性表出. 25.已知3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,设B=A 2+2A-E,求 (1)矩阵A 的行列式及A 的秩.(2)矩阵B 的特征值及与B 相似的对角矩阵.26.求二次型f(x 1,x 2,x 3)=- 4 x 1x 2+ 2x 1x 3+2x 2x 3经可逆线性变换⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=3332123211y 2x y y 2y 2x y y 2y 2x 所得的标准形.四、证明题(本题6分)27.设n 阶矩阵A 满足A 2=E,证明A 的特征值只能是1±.全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；r (A )表示矩阵A 的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。