ε ε 故 xn − xm = xn − a + a − xm ≤ xn − a + xm − a < + = ε 。 2 2
充分性的证明从略。
n→∞
ε ε 有 x n −a < ， x m −a < ， 2 2
柯西收敛准则也可叙述为 数列 {x n } 收敛 ⇔ ∀ε > 0 ， ∃N ∈ N + ， ∋ n > N 时，
(
)
……
n sin k 例 6．利用柯西收敛准则证明数列 {x n }= ∑ k k =1 2 证明： ∀n, p ∈ N + ，
收敛。
sin( n +1) sin( n + 2) sin( n + p ) 有 x n+ p − xn = + +L+ n +1 n+2 n+ p 2 2 2
∀ε > 0, ∃N, ∀n, m > 0: an − am < ε , 则称数列 {an } 是一个基本数列.（ Cauchy列） 列
2 Cauchy收敛准则： 收敛准则： 收敛准则 定理 数列 {an} 收敛的充要条件是：
{an } 是一个基本数列. 数列 {an} 收敛 ⇔ ∀ε > 0, ∃N, ∀ m , n > N, ⇒ am − an < ε. 或 ⇔ ∀ε > 0, ∃N, ∀ n > N, ∀p∈N, ⇒ an+p −an <ε.
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
1 + 13 1 − 13 (舍去 舍去) , A= 舍去 解得 A = 2 2 1 + 13 . ∴ lim x n = n→∞ 2
A 2 = 3 + A,
二 数列收敛的充要条件 —— Cauchy收敛准则 收敛准则 1 Cauchy列： 列 如果数列 {an } 具有以下特性：
§3 数列极限存在的条件
一 数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理 二 数列收敛的充要条件 —— Cauchy收敛准则 收敛准则 n 三 关于极限 1
lim 1 + = e : n→∞ n
四 数列
n 单调有界证法欣赏 1 1 + n
所以 即有
1 1 1 < ln(1 + ) < 1+ k k k
xn =
∑
n
k =1
1 − ln n > k
∑ ln(1 +
k =1
n
这表明序列 {x n } 有下界。又
x n − x n +1 1 1 1 = ln(n + 1) − ln n − = ln(1 + ) − >0 n +1 n n +1
s n+ p −1 − s n−1 = c n + c n +1 +L+ c n + p −1 < ε ，
= xn+ p − xn+ p−1 + xn+ p−1 −L− xn+1 + xn+1 − xn
≤ xn+1 − xn + xn+2 − xn+1 +L+ xn+ p − xn+ p−1
< c n + c n +1 +L+ c n + p −1 < ε ，
的极限存在；
1 1 n −1 1 ] 2）求极限 lim [ 1 − + − L + ( − 1) n→ ∞ 2 3 n
解 1） 因 x > −1 时有
x < ln(1 + x) < x 1+ x
( x ≠ 0)
( k = 1， ， ） 2 L
1 ) − ln n = ln( n + 1) − ln n > 0 k
所以当n ≥ N时有 a − ε < an < a + ε .
同理可证有下界的递减
即 lim an = a.
n →∞
数列必有极限 .
例1 设
证明数列{ an }收敛. 例 2 a1 = 2 , a 2 = 2 + 2 , L , a n = 2 + 2 + L + 2 (n重根号),· · ·证明数列 {a n }单调有界, 并求极限. 例3 a > 0 , x 1 > 0 . x n + 1 求 lim xn . ( 计算 n →∞
∴数列 {x n } 也收敛。
三. 关于极限
1 lim 1 + = e : ( e ≈ 2.71828 ) n→∞ n
n+k
n
（证明留在下段进行.） 例8
1 lim1+ n→∞ n
n+k
,
1 lim1+ . n→∞ n
n
kn
例9 lim1+ c ,
所以
(−1) lim ∑ n → +∞ k k =1
2n
2 n +1
k −1
= ln 2
又
(−1) k −1 lim ∑ = ln 2 n →+∞ k k =1
即得
( −1) k −1 lim ∑ = ln 2 n → +∞ k k =1
n
例2
证明数列 xn = 3 + 3 + L+ 3 (n重根
∴ {xn } 是单调递增的 ;
式)的极限存在. 证 显然 x n + 1 > x n ,
∴ {xn } 是有界的 ;
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k< 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
≤ 1 2
n+1
+
1 2
n+2
+L+
1 2 n+ p
1 1 1 = n+1 (1+ + 2 +L+ p−1 ) 2 2 2 2
1
2 = 1 ⋅(1− 1 ) < 1 . = n+1 ⋅ 1 2n 2 2 p 21 ∵ ∀ε > 0 ， ∃N = log 2 ， ∋ n > N 时，有 x n + p − x n < ε 。 ε n sin k ∴数列 {x n }= ∑ k 收敛。 k =1 2
n→∞

n
1 lim1− , n→∞ n
n
1 lim1− . n→∞ 2n
3n
例10
2n − 3 lim . n →∞ 2 n + 1
1 n 单调有界证法欣赏 四 数列 1 + 单调有界证法欣赏: n Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限， Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.
x1 x5 x2 x4 x3
例5 证明: 任一无限十进小数
α = 0. bb2LbnL (0 <α <1) 1
的不足近似值所组成的数列
b1 , 10
b1 b2 + 2 , L, 10 10
b1 b2 bn + 2 +L+ n , L 10 10 10
收敛. 其中 bi ( i = 1, 2,L ,9 ) 是 中的数.
∀p ∈ N + ，有 x n+ p − x n < ε 。
柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中充分远 （即 n 充分大）的任意两项的距离能够任意小。柯西收敛 准则的优点在于它不需要借助数列以外的任何数，只须根 据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性。
数列极限存在的条件
•定理的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼 此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对 值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收 敛数列的各项越到后面越是挤在一起.
x n +1
1 1 1 1 2 = 1+1+ 1− + 1− 1− +L 2! n +1 3! n +1 n +1
1 1 n + (n + 1)! 1 − L1 − ; n +1 n +1 注意到 1− 1 < 1− 1 , 1− 2 < 1− 2 , n+ n n +1 n n +1
一 单调有界原理 定义 {x n } 称为单调上升的，若
{x n } 称为单调下降的，若
x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ L≤ xn ≤ L
x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥L≥ xn ≥L
单调增加和单调减少数列统称为单调数列.
提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？
数列极限存在的条件
定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限. •定理1的几何解释
证法一 设
1 n( n −1)L( n − k +1) 1 xn =1+ n ⋅ +L+ k n k! n