数列的极限(86) 3
几何意义：数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在 闭区间[ M , M ]上.
定理 2
收敛数列必有界.
n
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当 n N时, 恒有 xn a 1,
即有 a 1 xn a 1.
令 M max{ x1 , x2 ,, xN , a 1},
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故极限唯一。
(2)
有界性
对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自然数
n, 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否
则, 称为无界. 如
n 数 列 xn , 有界; 数列 x 2n , 无界. n n1
注意： 在子列 { xnk } 中，一般项 xnk是第 k项，而 在原数列 { xn } 中却是第 nk 项，显然， nk k .
数列的极限(86) 9
引理
收敛数列的任一子列收敛且极限相同．
证 设数列 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子数列.
lim x n a ,
n
0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .
而xn无休止地反复取 1, 1两个数,
数列的极限(86) 5
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
(3)
保号性
*证
数列的极限(86) 6
数列的极限(86)
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(4)
定理 4
保序性
若存在正整数 N ，当 n
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
数列的极限(86) 4
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 因此，无界数列必发散. 例 6
证明数列x n ( 1)
n1
是发散的.
1 设 lim xn a , 由定义, 对于 , 证 n 2 1 则N , 使得当n N时, 有 x n a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2
性质2 有界数列与无穷小的乘积仍是无穷小.
证 设 { yn } 为有界数列,即对于任意自然数 n ， 存在正数 M ，使得 | yn | M 。
由于 n 为无穷小,即对于任意 0 ，
数列的极限(86) 16
存在 N 0 ，使得当 n N 时，恒有
由定义,
0, N1 , N 2 , 使得 当n N1时, 恒有 xn a ;
当n N2时, 恒有 xn b ;
取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时, 有
a b ( x n b) ( x n a )
数列的极限(86) 2
| yn | M 1
1 | y 恒成立，即 n | M 恒成立。
意义： 将一般极限问题转化为无穷小问题.
数列的无穷小常用 n , n 等符号表示.
数列的极限(86) 14
3.无穷小的运算性质
性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 设 n , n 为两个无穷小,即对于任意 0 ，
y n z n ，且
则a b 。
lim z n b ,
n
数列的极限(86)
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(5)
子列的收敛性
在数列 xn 中任意抽取无限多项并 保持这 些项在原数列xn 中的先后次序，这样得 到的一个数列称为原数 列 xn 的子列．
x1 , x2 ,, xi , xn , x n1 , x n2 ,, x nk , 如，
*证 设数列 yn 为无穷大,即对于任意 0 ，取
M 1 ,总存在正整数 N ，当 n N 时，有
| yn | M 1
1 | y 恒成立，即 n | 恒成立。
数列的极限(86)
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反之，设 yn 为非零无穷小,即对于任意 M 0 ，
1 M 取 ,总存在正整数 N ，当 n N 时，有
存在 N 0 ，使得当 n N 时，恒有
n
2 ,
n

2
同时成立。于是 n n n n , 2 2 n n 0 (n ).
数列的极限(86) 15
注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为 1不是无穷小 . n
第1章 函数、极限与连续
1.2 数列的极限
1.2.1.1 数列极限性质
1.2.2 无穷大与无穷小
1.2.3 极限的四则运算
2018/10/9
北京师范大学
1
6. 数列极限的性质： (1) 唯一性
定理 1 每个收敛的数列只有一个极限.
n n
证 设 lim xn a, 又 lim xn b,
yn
恒成立,则称数列 { yn } 为无穷小,记作
lim yn 0 或
n
yn 0 ( n ).
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数列的极限(86)
( 1)n . 如， 数 列 是n 时 的 无 穷 小 n
2、无穷大
绝对值无限增大的数列称之.
若对于任意给定的正数 M (不论它多么大),总
存在正整数 N ，使得对于一切 n N ,均有
yn M
恒成立,则称数列 { yn } 为无穷大,记作
lim yn
n
或
yn (n ).
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数列的极限(86)
定理5
1 y y 若数列 n 为无穷大,则 n 为无穷小；
1 y y 反之，若数列 n 为非零无穷小,则 n 为无穷大。
取 K N,
则当 k K 时,
k
nk nK N .

xnk a .
lim x nk a .
数列的极限(86) 10
1.2.2
无穷小与无穷大
极限为零的数列称之.
1、无穷小
若对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正整数 N ,使得对于一切 n N ,均有