§３ 数列极限存在的条件
教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。
教学要求：（１）掌握并会证明单调有界定理，并会运用 它求某些收敛数列的极限；
（２）初步理解Cauchy准则在极限理论中的 主要意义，并逐步会应用Cauchy准则 判断某些数列的敛散性。
数列极限的两大问题
• 数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题）
正整数n0,m0 N,使
an0 am0 0
• 则数列{a n }发散.
例 6证数 明{列 (1)n}发.散
证明: 0 1,N N ,
n0 2N 1, m0 2N ,
s.t. (1)n0 (1)m0 2 0 故数列{(1)n}发散。
作业 P39 1(2)(4),3(1),5(2),7
例5 任一无限十进小数 0.b1b2 bn 的n位
不足近似 (n 1,2,)所组成的数列
b1 , 10
1b101b022
,
,1b101b022
1b0nn
,
满足柯西条(从 件而必收)敛,其中bk为0,1,2, ,9
中的一个数
证明： 因为 0 ,对 N 1,s.t.nm N 时
an am
bm 1 10 m 1
现取 1 1 , x 1 S , s .t . a 1 x 1 a
取 2 min{
1 2
,a
x1}
0,x2
S
,
s .t. a x 2 a 2 a ( a x1 ) x1
一般地 ， 按上述步骤得到
x n1 S 后
取 n min{
1 n
,a
x n1}
0,xn
S
,
• 证明:对递减数列 a n
•
由确界原理, a n 有下确界,令 ainfa{n}
• •
下证 lni man a
由下确界定义: 0 , a N { a n } s .t.a ,N a
•
故 nN 时 anaNa
•
而 n,anaa
•
所以 nN 时 an a
•
即 lni man a
对任一正整数 n，有
bn1an1 bnbn1aan ba bnbn1bbn(n1)bn
于b 是 n 1 a n 1 ( n 1 ) b n ( b a )
整理后得不等式：
a n 1 b n (n ( 1 )a n )b ( 1 )
令 a11,b11代1入 有
n1 n
(1 1 )n1(11)n
anan 1(anan 1)，
则称 a n 为递增（递减）数列。 递增和递减数列统称为单调数列．
例如：
1 n
为递减数列；
n 2 为递增数列；
(
1 n
)
n
不是单调数列。
如果数a列 n满足条件 a 1a 2a na n 1 ,单调增加
a 1a 2a na n 1 ,单调减少
单调数列
几个简单的单调数列：
其中 2，证明 { a n } 收敛。
证明：{a n } 递增显然，下面证明有上界，事实上：
an1212312... n12
111... 1 12 23 (n1)n
1(11)(11)( 1 1)
12 23
n1 n
212,n1,2,.... n
故数 {an} 列 单调，有 从界 而。收敛
例２ 证明数列
n1
n
即{(11)n}为递增数。列
n
再a以 1,b11代(1 入 )得 2n
(n 1 )an b (n 1 )n (12 1 n)1 2
故 1 得 由 1 (1 1)n1 (1 1)2 n 4
2 n2 2 n
上式对一切正整数 n都成立，即对一切偶数 n，有
(1 1)n 4 n
联系到该数列的单调性，可知对一切正整数n，都有
• 数列极限值的大小； （存在性成立后， 才想办法计算极限）
几种证明极限存在的方法：
• 按照数列极限的定义证明。 • 按照奇、偶子列的收敛性证明。 • 依据任意子列的收敛性证明。 • 利用夹逼准则证明。
最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性
一 单调有界定理
1 单调数列
定义
若数列 a n 的各项满足不等式
所以两边取极限a得 2 a2
解a得 2或 a1不可 能
所l以 im2 2 22 n
例3 设S为有界集，证明：若 suSpaS,则存在严格
单调递增数列 {xn}S, 使得 ln im xn a.
Pr oof : sup S a S
0 , x S , s .t. a x a
(1 1)n 4 n
,即
{(1 1 )n } n
有上界。
于是 {(1 1 ) n } 单调递增上界，即收敛。 n
习惯l上 im (1 记 1)n e 。 n n
二 Cauchy收敛准则：
1 Ｃauchy收敛准则
定理2.10 数列 a n 收敛的充分必要条件是：
对任给的 0 ,存在正整数Ｎ，使
s .t . a x n a n a ( a x n 1 ) x n 1 ,
上述步骤无限进 ,得行 到下 数 {x去 n列 }S, 它是严格递,增 且数列
an
xn
aan
xn
a
n
1 n
故ln im xn a
•
例4
证明
lim(1
n
1 )n n
存在。
证明：先建立一个不等式，设 ba0
得当 n,m N 时有 | an am | 。
根据数列本身的特征就可以鉴别其（收） 敛（发）散性。
1 收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起。 2 判别{ a n } 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，
不需要引入别的数列作参照。
3 把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。
1 ann,n1,2,. ..ln im an0;
1 ann,n1,2,. ..ln im an0;
a n q n ,(0 q 1 )n , 1 ,2 ,. .l n . ia n m 0 ;
2 单调有界准则
定理 在实数系中，有界且单调数列必有极限。
几何解释:
x1 x 2 x 3x n xn1 A M x
几点说明：
• 通常该准则变通为：
1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。 • 本定理只是证明了存在性。 • 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。
• 此定理的条件为充分非必要条件。
an
(1)n
1,n1,2,.... n
例1
设
11 1 an123.. .n,n1,2,...

bm2 10 m 2
bn 10 n
9 10 m 1
9 10 m 2
9 10
n
9 10 m 1
(1
10
1
nm
1 1
)
1 10 m
(1
1 10 n m
)
10
1 10 m
1 m
故数 {an}满 列 C 足 a收 uc敛 h， y从 条而 件 。收
• 2 Ｃauchy收敛准则逆否命题
• 若存在正数 0 ,使对任给正整数N,存在
2, 2 2,L,1244224L432,L
n个根号
收敛，并求其极限.
证明：记 an 2 2 2, 则 an1 2an
先证 { a n } 有界: 10 a1 2
20 设an 2
则 an12an222
故 n,an 2
从而 an 12an2anan 故 {a n } 单调有界，因而收敛。
令 lni man a 由a于 n212an