两角和与差的三角函数公式基本题型复习（学案）1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A ．12 B ．13C ．32D ．332．已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )A ．－3－222B ．3－226C ．3＋226D ．－3＋2263．(2016·梅州高一检测)若12sin x ＋32cos x ＝cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值是( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π35．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0B ．1C ．±1D ．－11．若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)等于( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－22．cos α－3sin α化简的结果可以是( )A ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αB ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αC ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αD ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α6．(2016·济南高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________．7．在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－1213，则cos(A －B )＝________.6．计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.7．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－12.9．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．2．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．8．设方程 12x 2－πx －12π＝0的两根分别为α，β，求cos αcos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值．9.如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.图3－1－1(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．两角和与差的三角函数公式基本题型复习1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A ．12B ．13C ．32D ．33【解析】 原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.【答案】 A2．已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )A ．－3－222B ．3－226C ．3＋226D ．－3＋226【解析】 因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＋13×32＝－22＋36.【答案】 B3．(2016·梅州高一检测)若12sin x ＋32cos x ＝cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值是( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3【解析】 对比公式特征知，cos φ＝32，sin φ＝－12，故只有－π6合适．【答案】 A5．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0B ．1C ．±1D ．－1【解析】 因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝1或者⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝－1，解得⎩⎨⎧cos α＝0，cos β＝0，于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.【答案】 B 1．若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)等于( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】 (1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋(tan α＋tan β)＋tan αtan β ＝1＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β ＝1＋tanπ4·(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2. 【答案】 C2．cos α－3sin α化简的结果可以是( )A ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αB ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αC ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αD ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α 【解析】 cos α－3sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π3－sin αsin π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.【答案】 B6．(2016·济南高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________．【解析】 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝18，所以cos α＋3sin α＝14.【答案】 147．在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－1213，则cos(A －B )＝________.【解析】 因为cos B ＝－1213，且0<B <π，所以π2<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513，且0<A <π2， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ，＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.【答案】 －16656．计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.【解析】 原式＝tan 45°－tan 15°3（1＋tan 45°·tan 15°）＝13tan(45°－15°)＝13.【答案】137．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.【解析】 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＝15，①sin αcos β－cos αsin β＝35，②①＋②得sin αcos β＝25，③①－②得cos αsin β＝－15，④③÷④得tan αtan β＝－2.【答案】 －28．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－12.【证明】 由sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0得 (sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，①(cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.② ①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.9．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝4 3，∴sin α＝4 3cos α，①sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝4 37，cos α＝17.∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114，∴sin(α＋β)＝5 314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5 314×4 37＝12.∴cos β＝12. 2．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．【解】 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45，∴sin(α－β)＝35.∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝45. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π，∴π2<2β<3π2，2β＝π，∴β＝π2. 8．设方程 12x 2－πx －12π＝0的两根分别为α，β，求cos αcos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值．【解】 由题意知α＋β＝π12，故原式＝cos(α＋β)－3sin(α＋β)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－（α＋β）＝2sin π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos π6－cos π4sin π6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32－22×12＝6－22.9.如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.图3－1－1(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．【解】由条件得cos α＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.因此tan α＝7，tan β＝1 2.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan（α＋β）＋tan β1－tan（α＋β）tan β＝－3＋121－（－3）×12＝－1，又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.。